一、选择题
1. （2014•浙江杭州，第3题，3分）在直角三角形ABC中，已知∠C=90°，∠A=40°，BC=3，则AC=（ ）
A． 3sin40° B． 3sin50° C． 3tan40° D． 3tan50°
考点： 解直角三角形
分析： 利用直角三角形两锐角互余求得∠B的度数，然后根据正切函数的定义即可求解．
解答： 解：∠B=90°﹣∠A=90°﹣40°=50°，
又∵tanB= ，
∴AC=BC•tanB=3tan50°．
故选D．
点评： 本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系．
2. （2014•浙江杭州，第10题，3分）已知AD∥BC，AB⊥AD，点E，点F分别在射线AD，射线BC上．若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AC与BD相交于点G，则（ ）
A． 1+tan∠ADB= B． 2BC=5CF C． ∠AEB+22°=∠DEF D． 4cos∠AGB=
考点： 轴对称的性质；解直角三角形．
分析： 连接CE，设EF与BD相交于点O，根据轴对称性可得AB=AE，并设为1，利用勾股定理列式求出BE，再根据翻折的性质可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后对各选项分析判断利用排除法求解．
解答： 解：如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，
由轴对称性得，AB=AE，设为1，
则BE= = ，
∵点E与点F关于BD对称，
∴DE=BF=BE= ，
∴AD=1+ ，
∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，
∴四边形ABCE是正方形，
∴BC=AB=1，
1+tan∠ADB=1+ =1+ ﹣1= ，故A选项结论正确；
CF=BF﹣BC= ﹣1，
∴2BC=2×1=2，
5CF=5（ ﹣1），
∴2BC≠5CF，故B选项结论错误；
∠AEB+22°=45°+22°=67°，
在Rt△ABD中，BD= = = ，
sin∠DEF= = = ，
∴∠DEF≠67°，故C选项结论错误；
由勾股定理得，OE2=（ ）2﹣（ ）2= ，
∴OE= ，
∵∠EBG+∠AGB=90°，
∠EGB+∠BEF=90°，
∴∠AGB=∠BEF，
又∵∠BEF=∠DEF，
∴4cos∠AGB= = = ，故D选项结论错误．
故选A．
点评： 本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，设出边长为1可使求解过程更容易理解．
3. （2014•江苏苏州,第9题3分）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为（ ）
A． 4km B． 2 km C． 2 km D． （ +1）km
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题
分析： 过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2，则AB= AD=2 ．
解答： 解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4，
∴AD=OA=2．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，
∴BD=AD=2，
∴AB= AD=2 ．
即该船航行的距离（即AB的长）为2 km．
故选C．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
4. （2014•山东临沂,第13题3分）如图，在某监测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B、C之间的距离为（ ）
A． 20海里 B． 10 海里 C． 20 海里 D． 30海里
考点： 解直角三角形的应用-方向角问题
分析： 如图，根据题意易求△ABC是等腰直角三角形，通过解该直角三角形来求BC的长度．
解答： 解：如图，∵∠ABE=15°，∠DAB=∠ABE，
∴∠DAB=15°，
∴∠CAB=∠CAD+∠DAB=90°．
又∵∠FCB=60°，∠CBE=∠FCB，∠CBA+∠ABE=∠CBE，
∴∠CBA=45°．
∴在直角△ABC中，sin∠ABC= = = ，
∴BC=20 海里．
故选：C．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题．解题的难点是推知△ABC是等腰直角三角形．
5．（2014•四川凉山州，第5题，4分）如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=10m，则坡面AB的长度是（ ）
A． 15m B． 20 m C． 20m D． 10 m
考点： 解直角三角形的应用－坡度坡角问题
分析： 在Rt△ABC中，已知了坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．
解答： 解：Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1： ；
∴AC=BC÷tanA=10 m，
∴AB= =20m．
故选C．
点评： 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．
二、填空题
1. （2014•上海，第12题4分）已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i=1：2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为 26 米．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题
专题： 应用题．
分析： 首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
解答： 解：如图，由题意得：斜坡AB的坡度：i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，
∵i= = ，
∴BE=24米，
∴在Rt△ABE中，AB= =26（米）．
故答案为：26．
点评： 此题考查了坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解坡度的定义．
2. （2014•山东潍坊，第17题3分）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和
点F处分别竖立高是2米的CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是 米．
考点：解直角三角形的应用－仰角俯角问题．
分析：根据AB∥CD∥FE，可得△ABG∽△CDG，△ABH∽△EFH，可得CD:AB=DG:BG, EF:AB=FH:BH，即可求得AB的值，即可解题．
解答：∵△ABG∽△CDG，∴CD:AB=DG:BG ∵CD=DG=2， AB=BG
∵△ABH∽△EFH，∴EF:AB=FH:BH，∵EF=2，FH=4 ∴BH=2AB ∴BH=2BG=2GH
∵GH=DH－DG=DF=FH－DG=52－2+4=54，∴AB=BG=GH=54.
故答案为：54
点评：本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了平行线定理，本题中列出关于GH、BH的关系式并求解是解题的关键．
3．（2014•湖南怀化，第13题，3分）如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB=4米，此时，他离地面高度为h=2米，则这个土坡的坡角∠A= 30 °．
考点： 解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
分析： 直接利用正弦函数的定义求解即可．
解答： 解：由题意得：AB=4米，BC=2米，
在Rt△ABC中，sinA= ==，
故∠A=30°，
故答案为：30．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，牢记正弦函数的定义是解答本题的关键．
落千丈
4．（2014•四川内江，第23题，6分）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC⊥OB于点C．若OC=2，则PC的长是 ．
考点： 含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．
专题： 计算题．
分析： 延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，利用角平分线定理得到PD=PC，在直角三角形OQC中，利用锐角三角函数定义求出QC的长，在直角三角形QDP中，利用锐角三角函数定义表示出PQ，由QP+PC=QC，求出PC的长即可．
解答： 解：延长CP，与OA交于点Q，过P作PD⊥OA，
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，PC⊥OB，
∴PD=PC，
在Rt△QOC中，∠AOB=30°，OC=2，
∴QC=OCtan30°=2× = ，∠APD=30°，
在Rt△QPD中，cos30°= = ，即PQ= DP= PC，
∴QC=PQ+PC，即 PC+PC= ，
解得：PC= ．
故答案为：
点评： 此题考查了含30度直角三角形的性质，锐角三角函数定义，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键．
