1. 已知函数y＝f(x)＝sin x，当x从π6变到π2时，函数值的改变量Δy＝( )
A．－12 B.12 C.π3 D.32
【解析】 Δy＝f(π2)－f(π6)＝sinπ2－sin π6＝1－12＝12.
【答案】 B
2. 一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋Δt]内相应的平均速度为( )
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
【解析】 Δs＝5－3(1＋Δt)2－(5－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2，
∴ΔsΔt＝－6Δt －3（Δt）2Δt＝－6－3Δt.
【答案】 D
3. 函数f(x)＝2x2＋3在下列区间上的平均变化率最大的是( )
A．[1，1.5] B．[1，2]
C．[1，3] D．[1，1.05]
【解析】 平均变化率为ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx，把数据代入可知选C.
【答案】 C
4. 如果函数y＝f(x)＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则( )
A．a＝－3 B．a＝3
C．a＝2 D．a的值不能确定
【解析】 根据平均变化率的定义可知ΔyΔx＝（2a＋b）－（a＋b）2－1＝a＝3.
【答案】 B
5. 一质点运动的方程为s＝5－3t2，且在一段时间[1，1＋Δt]内的平均速度为－3Δt－6，则估计质点在t＝1处的瞬时速度是( )
A．－3 B．3
C．6 D．－6
【解析】 取Δt＝0.001，－3Δt－6＝－3×0.001－6＝－6.003.因此估计质点在x＝1处的瞬时速度是－6.
【答案】 D
二、填空题
6. 运动方程为s＝t3的物体，在时刻t＝4的瞬时速度为________．
【解析】 Δs＝s(4＋Δt)－s(4)＝(4＋Δt)3－43＝48Δt＋12(Δt)2＋(Δt)3，
∴ΔsΔt＝48＋12Δt＋(Δt)2.
当Δt→0时，ΔsΔt→48，即在时刻t＝4的瞬时速度为48.
【答案】 48
7. 某日中午12时整，甲车自A处以40 km/h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以80 km/h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间距离对时间的平均变化率为________．
【解析】 ΔsΔt＝0.5×80＋0.5×400.5＝120(km/h)．
【答案】 120 km/h
8. 经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，那么该婴儿体重的平均变化率哪一年较大？________．(填“第一年”或“第二年”)
图3－1－1
【解析】 由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是11.25－3.7512－0＝0.625；第二年该婴儿体重的平均变化率是14.25－11.2524－12＝0.25.因为0.625>0.25，所以第一年该婴儿体重的平均变化率较大．
【答案】 第一年
三、解答题
9. 某物体运动的路程s与时间t满足函数关系s(t)＝v0t－12gt2(v0，g是常数)．求在时间[1，1＋Δt]之间的平均速度v.
【解】 v＝ΔsΔt＝s（1＋Δt）－s（1）（1＋Δt）－1
＝v0（1＋Δt）－12g（1＋Δt）2－（v0－12g）Δt
＝v0－g－12gΔt，
即在时间[1，1＋Δt]之间的平均速度为v0－g－12gΔt.
10. 在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s＝10t＋5t2(s的单位：m，t的单位：s)，求当t＝20时的瞬时速度．
【解】 ΔsΔt＝10（20＋Δt）＋5（20＋Δt）2－2 200Δt＝210Δt＋5（Δt）2Δt＝210＋5Δt.
当Δt趋于0时其值为210.
∴t＝20时的瞬时速度为210(m/s)．
11. 已知一物体的运动方程是
s＝3t2＋2， 0≤t<3，29＋3（t－3）2， t≥3.求此物体在t＝1和t＝4时的瞬时速度．
【解】 当t＝1时，ΔsΔt＝3（1＋Δt）2＋2－（3×12＋2）Δt
＝6＋3Δt，
当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于6.
故当t＝1时的瞬时速度为6.
当t＝4时，
ΔsΔt＝29＋3（4＋Δt－3）2－[29＋3×（4－3）2]Δt＝6＋3Δt，
当Δt趋于0时，ΔsΔt趋于6，故t＝4时的瞬时速度为6.
