关键词: 重力加速度;单摆实验;系统误差;阻尼;修正
中图分类号:G633.7 文献标识码:B文章编号:1672-1578(2010)11-0240-02
1、用单摆测重力加速度的实验原理
用一不可伸长的轻线悬挂一小球,如图1-1,做幅角θ很小的摆动就是一个单摆。设小球的质量为m,其质心到摆的支点O的距离为L(摆长)。作用在小球的切向力的大小为mgsinθ,它总指向平衡点O'。当θ角很小时,则sinθ≈θ,切向力的大小为mgθ,按牛顿第二定律,质点的运动方程为:
这是一简谐运动方程,可知该简谐振动的角频率 的平方等于 ,由此得出:
实验时,测量一个周期的相对误差较大,一般是测量连续摆动n个周期的时间t。则 T=t/n ,因此:
从测量公式本身,往往是看不出系统误差的。有时候,即使是直接测量的量,已经排除了系统误差,计算结果仍有系统误差,这是因为存在理论、方法等等的误差。系统误差需要逐项分析,考察其影响或找出其修正值。下面我们来讨论一下用单摆测重力加速度实验中几项系统误差的修正:
2、复摆的修正
单摆公式中,我们假定摆球是一个质点,不计体积,而且不计摆线的质量。实际上,任何一个单摆都不是理想的,都是一个复摆。如图2,在不计阻力、浮力的情况下,由转动定理有:
①
式中 m 、 m 0 为摆球及摆线质量, (l-r) 为摆线长度, 为悬点(o)到摆球球心的距离。 25mr 2+ml 2 为摆球对轴的转动惯量, 13m 0(1-r) 2 为悬线对o轴的转动惯量。当 θ≈0 时,有
……… ②此复摆的周期为:
………③
考虑到 r< …………④
理想的单摆周期公式
………⑤
⑤与④式相比较,④式可看作是对于摆长 的修正
………⑥
④式也可写成:
………⑦
与⑤式相比较,⑦式可看作是对T的修正
………⑧
④式可写成:
………⑨
3、浮力的修正
如果考虑空气浮力,则①式中左边多一项 ρ 0Vglsinθ ,其中 ρ 0 为空气密度, V=mρ , ρ 为摆球密度,V为摆球体积,相应的⑨式中增加一修正项,成为
…………⑩
4、摆角的修正
根据振动理论,作二级近似,在单摆以摆角 摆动时,有
,
,
5、阻尼的修正
实际上,单摆摆动时存在阻尼,使单摆不是作简谐振动而是作阻尼振动,这阻尼是由空气的粘滞阻力及其他因素引起的,它使周期增大。但具体数值仅从理论上难以估算,需要半经验的测定这里就不予讨论了。
把(1)、(2)、(3)项修正项合并在一起,有
,
现在我们取一组实际数据为例,对上式进行讨论。如 m≈100g,m 0≈0.5g,l≈100cm,r≈2cm,θ≈3°, ρ≈7.8g/cm 3ρ 0≈1.3×10 -3 g/cm 3 。则有
=
由此可见,这些修正项都在万分之几左右,如果要求测得的g有四位有效数字,就必须予以考虑。要求测量结果的准确度越高,就必须考虑更多的修正项。与此同时,对摆长 的测量要求也更高,如果要考虑这些数值在百万分之几的修正项,相应 的测量也应准确到万分之几或更高些。这就需要用测高仪测量了。
总之,在实验过程中要坚持精益求精、一丝不苟的科学实验精神。
