何以需要把哲学认识观融入立体几何的教学中,究其因,一方面,哲学认识观给数学教学送来了获得智慧的经验与方法,能高屋建瓴的认识立体几何,给统领立体几何教学的观点、方法与思想带来了一个高度;另一方面,立体几何中诸多的知识与方法素材更是诠释哲学思想、哲学认识论的良好契机,如空间问题转化为平面问题、几何关系与数量关系的互化都昭示了事物的普遍联系与相互转化.本文结合实际,从四个方面谈谈如何在立体几何教学中融入哲学认识观.
1 对立与统一地认识问题
唯物主义哲学告诉我们,对立统一规律是辩证法的实质与核心.唯物辩证法认为,事物联系的根本内容就是互相区别、相互对立的矛盾双方之间的联系.用这个观点考查立体几何就容易发现,在立体几何中,处处都存在着典型的、深刻的矛盾辩证法.空间由点、线(直线与曲线)、面(平面与曲面)、体元素构成,点动成线、线动成面、面动成体,从这个角度上说,这四者体现的是部分与整体的关系.当我们在具体判断这些元素位置关系时,它们却是对立统一的:线线、线面、面面等位置关系可以相互转化,呈现对立统一之态.
例如,在判断线面平行时,可以转化为线线平行(线面平行判定定理)思考,抑或可以转化为面面平行(面面平行性质)思考.线线平行、线面平行、面面平行既对立又统一.对立体现的是相互的区别性、统一体现的是相互的联系性,这联系性展现了“降维”与“升维”的数学思想.
例1 如图1所示,三棱锥ABCD?被一平面所截,截面为平行四边形EFGH,求证:/ /CD平面EFGH.
评析 本题很好体现了这种辩证统一关系,要证/ /CD平面EFGH,只要证线线平行,如尝试证/ /CDGH,而要证/ /CDGH,不妨尝试证线面平行,即/ /GH平面ACD,而事实上,由
/ / GHEF知/ /GH平面ACD成立,从而问题得证.
在这样的例题教学中,一方面,教师应帮助学生提炼出这些平行关系转化的内在联系;另一方面,教师应有意识培养学生从辩证统一的视角思考问题,需让学生充分感悟:要证线面平行,可证线线平行;而要证线线平行,可证线面平行……环环相扣、紧紧相连、对立统一,这也正是哲学世界蕴涵的大智慧.
2 具体到抽象地认识问题
辩证唯物主义的认识论指出,人们的认识过程总是经历了从感性认识到理性认识的过程,这个转化过程是产生了由量变到质变的飞跃.一定程度上,立体几何源于生活、源于实例,呈现出一种具体性;但因为数学是一门经过高度概括的学科,呈现在立体几何内容上即是具有高度的抽象性,学习上要求学生具有较好的空间想象能力.所以,立体几何教学中我们主张由具体到抽象地认识事物.
具体与抽象是相互依存的关系,具体是抽象的源头,为抽象提供了一定的基础;抽象是具体的发展,为具体提供更高的境界.可以说具体培养的是感性思维,抽象培养的理性思维.古语有云:“皮之不存,毛将焉附”,放之立体几何教学上即是问题的探索与研究离不开具体的情景.同时,当我们用发展的观点看待问题时,就要求在具体情景中去寻求隐含的、内在的、本质的、抽象的一般性联系与特征.而这个具体到抽象过程的实现,可以通过模型展示、实验操作等方法,让学生经历操作、观察、感知、判断、猜想、归纳、证明等操作过程与思维过程,进而实现具体到抽象、感性到理性的飞跃.
例2 如图2,正方形ABCD的边长为a,请设计三条虚线,沿虚线翻折后,形成侧面为三个直角三角形,底面为等腰三角形的三棱锥.设三棱锥顶点
记为E点.(1)试画出这三条虚线,并找出这个三棱锥中互相垂直的面;(2)求该三棱锥的体积.
评析 在这样的例题教学中,倘若学生因缺乏空间想象感而陷入困境,不妨花点时间让学生去动动手、折折纸,从体验中去感悟运动中包含不变关系(特别指一些垂直关系的不变性),从体验中去培养学生的空间想象能力.
当然,这里可能还会有另外一种观点:对于高中学生我们需要培养学生思维的深刻性,要求学生具有较好的空间想象能力和抽象思维能力,而一味的折纸、一味的操作、一味的浅层次思维可能会影响学生这些能力的培养.显然,这种观点也不无道理.所以,笔者在此特指的是在立体几何入门教学中,培养学生的空间感应是一个循序渐进的过程,思维需要逐步深刻,倘若,操之过急势必物极必反.待学生有一定空间想象能力之后,再力求深层思维更佳.
3 归纳与类比地认识问题
归纳法与类比法是人们认识事物的最基本方法之一,它们既是一种思维形式,也是一种推理方法,它们在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义,正如数学家拉普拉斯所说:数学本身赖以获得真理的重要手段就是归纳和类比.立体几何中,归纳与类比同样是获得新知、认识新问题的好方法.
类比法在立体几何教学中,体现出来的是局部与整体相结合的教学方法.例如,在线面平行、面面平行的教学中,整个框架的展开为:由线面平行判定定理至线面平行性质定理,再类比到面面平行判定定理至面面平行性质定理,这是一个“平行的局部世界”;但我们不妨将这个“局部世界”类比推广开去,即在开展线面垂直、面面垂直的教学中,也是由判定定理的学习到性质定理的学习,这是“垂直的局部世界”,而这两个局部世界构成了“判定与性质这个整体世界”.再比如,在空间角的学习中,即是由线线角、线面角再至面面角,从“一维角”类比到“二维角”的学习,而后再整体思考时可以发现这些角的本质都是转化为线线角.
归纳法在立体几何教学中,体现出来的是特殊与一般地关系,往往通过对特殊位置的研究可以归纳猜想出一般位置的情况.
立体教学中,运用归纳与类比的方法认识立体几何问题,有助于学生抓住整个立体几何的线索、理清知识展开的脉络、把握知识推理的关系,进而能培养学生从一定的高度认识问题、分析问题、解决问题,达到一览众山小的境界.
4 简单到复杂地认识问题
事物的发展往往是由简单到复杂,所谓“一生二,二生三,三生万物”即是如此;而复杂之后人们又在不断追求着简单,所谓“大道至简”便是体现.简单中蕴含了事物的简练性、朴素性,复杂中蕴含了事物的发展性、整合性.立体几何教学中,同样需要渗透由简单到复杂的数学思想,让学生能循序渐进的认识事物,而简单到复杂的终极目标该是为了使学生能从复杂背景中把握简单地本质,从复杂中发现简单地方法要领,也即“深入浅出”.
那么,如何在立几教学中展开深入浅出的教学呢?立足于立体几何结构的特征,可以通过变式教学等方式对立体几何结构的由简单到复杂的进行变化与呈现,从而去发现复杂几何结构中蕴含的简单本质与一般性方法.
例3 在人教版必修二中有这样的一个探究题:如图3,已知PA⊥平面ABC,且BCAB⊥,问图中有哪些平面互相垂直?
本题的结构形式在立体几何中是一种经典模式,很多的问题都是以此为素材建构,所以,教学中,教师可以对此结构进行挖掘拓展延伸.如:
评析 本例通过对课本探究的改造使用,由简单到复杂地去认识空间结构图,既能明白事物发展的源起,又能把握事物的本质.这也正是变式教学的魅力所在,在变中寻求不变性,在变中寻求发展性.
5 总结与反思
唯物主义哲学观是一种大智慧,既有科学的世界观、价值观,又有具体的方法论,它对数学教学有着非常重要的指导作用.而哲学地认识数学问题,从哲学认识观展开数学教学,其内涵也非常丰富,不仅包含了本文所探讨的一些观点,还包括许多经典的思想方法.比如,从有限到无限地领略数学神奇,从量变到质变地体验数学变化,从静态到动态地感悟数学规律,等等,这需要我们不断实践摸索.
融入哲学认识观,既指一些具体的操作,如实验的方法、变式的教学等;也指一些哲学的智慧,如辩证统一的思想;更指哲学观下的数学思想方法,如归纳、类比、转化的方法等.教学中,教师需要站在哲学的高度认识数学,需要适度地从哲学角度阐释数学、开展教学,从而使学生也能高屋建瓴的看待数学问题、解决数学问题.
立体几何的认识源于人们对其“形”、“度量”与“结构”的认知,意在通过研究这些问题来认识自然、适应自然、改造自然,这展现了一种朴素的哲学认识观.这种朴素的认识观对今日立体几何教学依然有十分重要的导向作用,它依然展示着无穷魅力,值得我们去实践创新.
