课本中,把“五点法”中的横坐标为0,πD2,π,3πD2,2π的五点分别叫做第一点、第二点、第三点、第四点、第五点.
由“五点法”知(从左到右):
第一点是图象继续上升且与x轴相交的点;
第二点是图象开始下降且与x轴不相交的点;
第三点是图象继续下降且与x轴相交的点;
第四点是图象开始上升且与x轴不相交的点;
第五点是图象继续上升且与x轴相交的点.
当我们要画出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图时,我们会把ωx+φ看成一个整体,分别令ωx+φ=0,πD2,π,3πD2,2π,求出相应x的值,通过列表,确定顺序的五个点,然后作出函数的简图.根据这种做法,有下列结论:
若(x0,0)是第一点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=0;
若(x0,1)是第二点,且sin(ωx0+φ)=1,则ωx0+φ=πD2;
若(x0,0)是第三点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=π;
若(x0,—1)是第四点,且sin(ωx0+φ)=—1,则ωx0+φ=3πD2;
若(x0,0)是第五点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=2π.
由上述可知,只要知道函数f(x)的一个最小正周期内的五点中的任意两点,就可以求ω和φ值.
例1(2011年高考江苏卷·文9理9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图1所示,则f(0)的值是.
解析易知A=2,
由周期T=2πDω=4(7πD12—πD3)得ω=2,
所以f(x)=2sin(2x+φ).
下面我们来求φ值.
思路1(“五点法”) 把点(πD3,0)代入f(x)=2sin(2x+φ),得sin(2πD3+φ)=0.
因为点(πD3,0)是“五点法”中的第三点,所以由sin(2πD3+φ)=0,得
2πD3+φ=π φ=πD3.
故而f(0)=2sinπD3=6D2.
思路2(“五点法”)把点(7πD12,—2)代入
f(x)=2sin(2x+φ),
得sin(7πD6+φ)=—1.
因为点(7πD12,—2)是“五点法”中的第四点,所以由sin(7πD6+φ)=—1,得
7πD6+φ=3πD2 φ=πD3.
故而f(0)=2sinπD3=6D2.
思路3(常规方法)
sin(2πD3+φ)=0 2πD3+φ=kπ
φ=kπ—2πD3(k∈Z).
所以f(0)=2sin(kπ—2πD3)=±6D2.
由图知,f(0)>0,
于是f(0)=6D2.
思路4(常规方法)
sin(7πD6+φ)=—1
7πD6+φ=—πD2+2kπ
φ=—5πD3+2kπ(k∈Z).
所以f(0)=2sin(2kπ—5πD3)=6D2.
点评(1)在此题中,没有限制φ的取值范围,所以φ值有无穷个,如φ=kπ—2πD3(φ=—5πD3+2kπ)(k∈Z).
但是,在做选择题或填空题时,用“五点法”求φ值,简便、速度快、正确率高.
(2)若此题对φ没有限制,而用思路1、思路2求出φ,可分别改写为
2πD3+φ=π+2kπ、
7πD6+φ=3πD2+2kπ(k∈Z).
例2(1990年高考)已知图2是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ|<πD2)的图象,那么
A.ω=10D11,φ=πD6B.ω=10D11,φ=—πD6
C.ω=2,φ=πD6D.ω=2,φ=—πD6
解析把点(0,1)代入y=2sin(ωx+φ),得sinφ=πD2.
因为点(0,1)介于“五点法”中的第一点和第二点之间,
所以φ=πD6,y=2sin(ωx+πD6).
再把点(11πD12,0)代入y=2sin(ωx+πD6),
得sin(11πD12·ω+πD6)=0.
因为点(11πD12,0)是“五点法”中的第五点,
所以11πD12·ω+πD6=2π,
解得ω=2,故选C.
点评(1)小小的一道选择题,当年难倒了许多考生(笔者当年所教的学生恰好参加高考).时过二十一个春秋,现在回过头来看看此问题,难,谈不上;易错,是真.是一道经典的好题!很有代表性,到现在也没有过时.
