（1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
【例1】P为抛物线 上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）
相交 相切 相离 位置由P确定
【解析】如图，抛物线的焦点为 ，准线是
.作PH⊥ 于H，交y轴于Q，那么 ，
且 .作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的
中位线， .故以
PF为直径的圆与y轴相切，选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则
分别是相离或相交的.
（2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
【例2】 过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于 两点，求证：
（1） （2）
【证明】（1）如图设抛物线的准线为 ，作
，
.两式相加即得：
（2）当AB⊥x轴时，有
成立；
当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为： .代入抛物线方程：
.化简得：
∵方程（1）之二根为x1，x2，∴ .
.
故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有 成立.
（3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.
【例3】证明：过抛物线 上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0）
【证明】对方程 两边取导数：
.由点斜式方程：
y0y=p（x+x0）
（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.
例如：1.一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必过定点 （ ）
显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B.
2.抛物线 的通径长为2p；
3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ，那么：
以下再举一例
【例4】设抛物线 的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点
【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.
【证明】如图设焦点两端分别为 ，
那么：
设抛物线的准线交x轴于C，那么
.
这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点.
● 通法 特法 妙法
（1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.
【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线
y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
A、B，则|AB|等于（ ）
A.3 B.4 C.3 D.4
【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段
AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，∴设直线AB的方程为： . 由
设方程（1）之两根为x1，x2，则 .
设AB的中点为M（x0，y0），则 .代入x+y=0：y0= .故有 .
从而 .直线AB的方程为： .方程（1）成为： .解得：
，从而 ，故得：A（-2，-1），B（1，2）. ，选C.
（2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.
【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积（ ）
A． B． C． D．
【解析】如图直线AF的斜率为 时∠AFX=60°.
△AFK为正三角形.设准线 交x轴于M，则
且∠KFM=60°，∴ .选C.
【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的
面积用公式 计算.
（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.
（3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单.
【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线
的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半
焦距c，离心率为e，作 ，令
.∵点M在抛物线上，
，
这就是说： 的实质是离心率e.
其次， 与离心率e有什么关系？注意到：
.
这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .∴选 A..
（4）三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.
【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；
（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交
x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。
【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线 .
（Ⅱ）直线AB：
代入（1），整理得：
设方程（2）之二根为y1，y2，则 .
设AB中点为
AB的垂直平分线方程是： .
令y=0，则
故
于是|FP|-|FP|cos2a= ，故为定值.
（5）消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：（1） 与抛物线 有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程.
【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点
∵线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分，且
.
设线段AB的中点为 .代入x+5y-5=0得x=1.于是：
AB中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为：
（6）探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”.
【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，…，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .
【解析】∵
设OA上第k个分点为
第k个三角形的面积为：
.
故这些三角形的面积之和的极限
抛物线定义的妙用
对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。现举例说明如下。
一、求轨迹（或方程）
例1. 已知动点M的坐标满足方程 ，则动点M的轨迹是（ ）
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
解：由题意得：
即动点 到直线 的距离等于它到原点（0，0）的距离
由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线 为准线的抛物线。
故选C。
二、求参数的值
例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 到焦点距离为5，求m的值。
解：设抛物线方程为 ，准线方程：
∵点M到焦点距离与到准线距离相等
解得：
∴抛物线方程为
把 代入得：
三、求角
例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为 ，则 __________。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
图1
解：如图1，由抛物线的定义知：
则
由题意知：
即
故选C。
四、求三角形面积
例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若 ， 。求△OPQ的面积。
解析：如图2，不妨设抛物线方程为 ，点 、点
图2
则由抛物线定义知：
又 ，则
由 得：
即
又PQ为过焦点的弦，所以
则
所以，
点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。
五、求最值
例5. 设P是抛物线 上的一个动点。
（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线 的距离之和的最小值；
（2）若B（3，2），求 的最小值。
解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是
由抛物线的定义知：点P到直线 的距离等于点P到焦点F的距离。
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小。
显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为 ，即为 。
图3
（2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点 ，则
，则有
即 的最小值为4
图4
点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解。
六、证明
例6. 求证：以抛物线 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切。
证明：如图5，设抛物线的准线为 ，过A、B两点分别作AC、BD垂直于 ，垂足分别为C、D。取线段AB中点M，作MH垂直 于H。
图5
由抛物线的定义有：
∵ABDC是直角梯形
即 为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。
抛物线与面积问题
抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题。解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解。
例1. 如图1，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（－1，0）。点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点。
图1
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积。
解：（1）设抛物线的解析式为
，根据题意得
，解得
∴所求的抛物线的解析式为
（2）∵C点坐标为（0，5），∴OC＝5
令 ，则 ，
解得
∴B点坐标为（5，0），OB＝5
∵ ，
∴顶点M的坐标为（2，9）
过点M作MN⊥AB于点N，
则ON＝2，MN＝9
∴
例2. 如图2，面积为18的等腰直角三角形OAB的一条直角边OA在x轴上，二次函数 的图像过原点、A点和斜边OB的中点M。
图2
（1）求出这个二次函数的解析式和对称轴。
（2）在坐标轴上是否存一点P，使△PMA中PA＝PM，如果存在，写出P点的坐标，如果不存在，说明理由。
解：（1）∵等腰直角△OAB的面积为18，
∴OA＝OB＝6
∵M是斜边OB的中点，
∴
∴点A的坐标为（6，0）
点M的坐标为（3，3）
∵抛物线
∴ ，解得
∴解析式为 ，
对称轴为
（2）答：在x轴、y轴上都存在点P，使△PAM中PA＝PM。
①P点在x轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（3，0）。
②P点在y轴上，且满足PA＝PM时，点P坐标为（0，－3）。
例3. 二次函数 的图像一部分如图3，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。
图3
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由。
（2）设此二次函数的图像与x轴的另一个交点为c，当△AMC的面积为△ABC面积的 倍时，求a的值。
解：（1）由图象可知： ；图象过点（0，1），所以c＝1；图象过点（1，0），则 ；
当 时，应有 ，则
当 代入
得 ，即
所以，实数a的取值范围为 。
（2）此时函数 ，
要使
，
可求得 。
例4. 如图4，在同一直角坐标系内，如果x轴与一次函数 的图象以及分别过C（1，0）、D（4，0）两点且平行于y轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7。
图4
（1）求K的值；
（2）求过F、C、D三点的抛物线的解析式；
（3）线段CD上的一个动点P从点D出发，以1单位/秒的速度沿DC的方向移动（点P不重合于点C），过P点作直线PQ⊥CD交EF于Q。当P从点D出发t秒后，求四边形PQFC的面积S与t之间的函数关系式，并确定t的取值范围。
解：（1）∵点A、B在一次函数 的图象上，
∴
且
∵四边形ABDC的面积为7
∴
∴ 。
（2）由F（0，4），C（1，0），D（4，0）得
（3）∵PD＝1×t＝t
∴OP＝4－t
∴
即 。
抛物线
1已知抛物线D：y2=4x的焦点与椭圆Q： 的右焦点F1重合，且点 在椭圆Q上。（Ⅰ）求椭圆Q的方程及其离心率；（Ⅱ）若倾斜角为45°的直线l过椭圆Q的左焦点F2，且与椭圆相交于A，B两点，求△ABF1的面积。
解：（Ⅰ）由题意知，抛物线 的焦点为（1，0）
∴椭圆Q的右焦点F1的坐标为（1，0）。∴ ①
又点 在椭圆Q上， ∴ 即 ②
由①②，解得 ∴椭圆Q的方程为 ∴离心离
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F2（－1，0）∴直线l的方程为 设
由方程组 消y整理，得
∴
又点F1到直线l的距离 ∴
2如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为 的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积
解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0 由方程组 ,消去y,得x2+(2m
－4)x+m2=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－
4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)
设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1•x2=m2,∴|MN|=4 点A到直线l的距离为d=
∴S△=2(5+m) ,从而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)•(5+m)(5+m)≤2( )3=128
∴S△≤8 ,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面
积为8
解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5
由方程组 ,消去x,得y 2－4 y －4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4，y 1•y 2=－4m,
∴S△= ＝
4 =4
∴S△≤8 ,当且仅当 即m=1时取等号
故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8
3已知O为坐标原点，P( )( )为 轴上一动点，过P作直线交抛物线 于A、B两点，设S△¬¬AOB= ，试问： 为何值时，t取得最小值，并求出最小值。
解：交AB与 轴不重叠时，设AB的方程为
合 消y可得：
设A B 则 ， 交AB与x轴重叠
时，上述结论仍然成立
∴
又 ∴
≥ 当 时 取“=”， 综上 当
