例1,弧ADB为半圆，AB为直径，O为半圆的圆心，且OD垂直于AB，Q为半径OD的中点，已知AB长为4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且始终保持/PA/+/PB/的值不变。过点D的直线与曲线C交于不同的两点M、N，求三角形OMN面积的最大值。
例2：已知双曲线x2-y2/2=1，过点M(1,1)作直线L，使L与已知双曲线交于Q1、Q2两点，且点M是线段Q1Q2的中点，问：这样的直线是否存在？若存在，求出L的方程；若不存在，说明理由。
解：假设存在满足题意的直线L，设Q1(X1,Y1)，Q2(X2,Y2)
代人已知双曲线的方程，得x12- y12/2=1 ① ， x22-y22/2=1 ②
②-①，得(x2-x1)(x2+x1)-(y2-y1)(y2+y1)/2=0。
当x1=x2时，直线L的方程为x=1，此时L与双曲线只有一个交点(1,0)不满足题意；
当x1≠x2时，有(y2-y1)/(x2-x1)=2(x2+x1)/(y2+y1)=2.
故直线L的方程为y-1=2(x-1)
检验：由y-1=2(x-1)，x2-y2/2=1，得2x2-4x+3=0,其判别式
⊿=-8 ﹤0，此时L与双曲线无交点。 综上，不存在满足题意的直线
例3,已知，椭圆C以过点A（1， ），两个焦点为（－1，0）（1，0）。
（1） 求椭圆C的方程；
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
（Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为 。
因为A在椭圆上，所以 ，解得 ＝3， ＝ （舍去）。
所以椭圆方程为 ．
（Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得 ，代入 得
设Ｅ（ ， ），Ｆ（ ， ）．因为点Ａ（1， ）在椭圆上，
所以 ， 。
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以 代 ，可得
， 。
所以直线EF的斜率 。
即直线EF的斜率为定值，其值为 。
4,已知直线 经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆 的右顶点为 ，点 和椭圆 上位于 轴上方的动点，直线， 与直线 分别交于 两点
（1）求椭圆 的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
解 方法一（1）由已知得，椭圆 的左顶点为 上顶点为
故椭圆 的方程为
（2）直线AS的斜率 显然存在，且 ，故可设直线 的方程为 ，
从而 ，由 得 0，
设 则 得 ，从而
即 又
由 得 故
又
当且仅当 ，即 时等号成立
时，线段 的长度取最小值
例5．已知点 , 是抛物线 上的两个动点, 是坐标原点,向量 , 满足 .设圆 的方程为
(1) 证明线段 是圆 的直径;
(2)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为 时，求p的值
解析：(I)证明1:
整理得: ，
设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则
即
整理得:
故线段 是圆 的直径
证明2:
整理得:
……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则
即
去分母得:
点 满足上方程,展开并将(1)代入得:
故线段 是圆 的直径
证明3:
整理得:
……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
展开并将(1)代入得:
故线段 是圆 的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
所以圆心的轨迹方程为
设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
当y=p时,d有最小值 ,由题设得
.
解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
所以圆心的轨迹方程为
设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为 ,则
因为x-2y+2=0与 无公共点,
所以当x-2y-2=0与 仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为
将(2)代入(3)得
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
