圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义：
第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段F F ，当常数小于 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 ＜|F F |不可忽视。若 ＝|F F |，则轨迹是以F ，F 为端点的两条射线，若 ﹥|F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在 轴上时 （ ），焦点在 轴上时 ＝1（ ）。方程 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B）。
（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦点在 轴上： ＝1（ ）。方程 表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B异号）。
（3）抛物线：开口向右时 ，开口向左时 ，开口向上时 ，开口向下时 。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
提醒：在椭圆中， 最大， ，在双曲线中， 最大， 。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以 （ ）为例）：①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为2 ，短轴长为2 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。
（2）双曲线（以 （ ）为例）：①范围： 或 ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），两个顶点 ，其中实轴长为2 ，虚轴长为2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线 ， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线： 。
（3）抛物线（以 为例）：①范围： ；②焦点：一个焦点 ，其中 的几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线：一条准线 ； ⑤离心率： ，抛物线 。
5、点 和椭圆 （ ）的关系：（1）点 在椭圆外 ；（2）点 在椭圆上 ＝1；（3）点 在椭圆内
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件； 直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
（2）相切： 直线与椭圆相切； 直线与双曲线相切； 直线与抛物线相切；
（3）相离： 直线与椭圆相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。
提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 ＝1外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；②P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；③P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；④P为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc；对于双曲线 。 如 （1）短轴长为 ，
8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB为焦点弦， M为准线与x轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设AB为焦点弦，A、B在准线上的射影分别为A ，B ，若P为A B 的中点，则PA⊥PB；（4）若AO的延长线交准线于C，则BC平行于x轴，反之，若过B点平行于x轴的直线交准线于C点，则A，O，C三点共线。
9、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则 ＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 ＝ 。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
抛物线：
在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= ；在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k= 。
提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！
11．了解下列结论
（1）双曲线 的渐近线方程为 ；
（2）以 为渐近线（即与双曲线 共渐近线）的双曲线方程为 为参数， ≠0）。
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ；
（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线 的焦点弦为AB， ，则① ；②
（7）若OA、OB是过抛物线 顶点O的两条互相垂直的弦，则直线AB恒经过定点
12、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量 或 ；
（2）给出 与 相交,等于已知 过 的中点;
（3）给出 ,等于已知 是 的中点;
（4）给出 ,等于已知 与 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：① ；②存在实数 ；③若存在实数 ,等于已知 三点共线.
（6） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角,
（8）给出 ,等于已知 是 的平分线/
（9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形;
（10） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形;
（11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；
（13）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；
（14）在 中，给出 等于已知 通过 的内心；
（15）在 中，给出 等于已知 是 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
（16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线;
（3）已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点， ，点C坐标为（0，2p）
（1）求证：A,B,C三点共线；
（2）若 ＝ （ ）且 试求点M的轨迹方程。
（1）证明：设 ，由 得
，又
， ，即A,B,C三点共线。
（2）由（1）知直线AB过定点C，又由 及 ＝ （ ）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。
13.圆锥曲线中线段的最值问题：
例1、(1)抛物线C:y2¬=4x上一点P到点A(3,4 )与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为______________
(2)抛物线C: y2¬=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则 ，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2， ）（2）（ ）
1、已知椭圆C1的方程为 ，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C2的方程；
(2) 若直线l： 与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足 (其中O为原点)，求k的取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为 ，则
故C2的方程为 （II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 ①
.由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
解此不等式得 ③
由①、②、③得
故k的取值范围为
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA•AB = MB•BA，M点的轨迹为曲线C。
（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以 =（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2).再由愿意得知（ + ）• =0,即（-x,-4-2y）• (x,-2)=0.
所以曲线C的方程式为y= x -2. (Ⅱ)设P(x ,y )为曲线C：y= x -2上一点，因为y = x,所以 的斜率为 x 因此直线 的方程为 ，即 。
则O点到 的距离 .又 ，所以
当 =0时取等号，所以O点到 距离的最小值为2.
设双曲线 （a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )
设双曲线 的一条渐近线，则双曲线的离心率为( ).
过椭圆 ( )的左焦点 作 轴的垂线交椭圆于点 ， 为右焦点，若 ，则椭圆的离心率为
已知双曲线 的左、右焦点分别是 、 ，其一条渐近线方程为 ，点 在双曲线上.则 • ＝( )0
已知直线 与抛物线 相交于 两点， 为 的焦点，若 ，则 ( )
已知直线 和直线 ，抛物线 上一动点 到直线 和直线 的距离之和的最小值是（ ）
设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线l的方程为_____________.
椭圆 的焦点为 ，点P在椭圆上，若 ，则 ； 的大小为 .
过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则 ________________
【解析】设切点 ，则切线的斜率为 .由题意有 又 解得:
双曲线 的一条渐近线为 ,由方程组 ,消去y,得 有唯一解,所以△= ,所以 ,
由渐近线方程为 知双曲线是等轴双曲线，∴双曲线方程是 ，于是两焦点坐标分别是（－2，0）和（2，0），且 或 .不妨去 ，则 ， .
∴ • ＝
【解析】设抛物线 的准线为 直线
恒过定点P .如图过 分 别作 于 , 于 , 由 ,则 ,点B为AP的中点.连结 ,则 ,
点 的横坐标为 , 故点 的坐标为
, 故选D
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5. 若 在椭圆 上，则过 的椭圆的切线方程是 .
6. 若 在椭圆 外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
7. 椭圆 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点 ，则椭圆的焦点角形的面积为 .
8. 椭圆 （a＞b＞0）的焦半径公式：
, ( , ).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是椭圆 的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，则 ，
即 。
12. 若 在椭圆 内，则被Po所平分的中点弦的方程是 .
13. 若 在椭圆 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 .
二、双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
5. 若 在双曲线 （a＞0,b＞0）上，则过 的双曲线的切线方程是 .
6. 若 在双曲线 （a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是 .
7. 双曲线 （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点 ，则双曲线的焦点角形的面积为 .
8. 双曲线 （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( ,
当 在右支上时， , .
当 在左支上时， ,
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
11. AB是双曲线 （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M 为AB的中点，则 ，即 。
12. 若 在双曲线 （a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是 .
13. 若 在双曲线 （a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 .
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
1. 椭圆 （a＞b＞o）的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 .
2. 过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且 （常数）.
3. 若P为椭圆 （a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则 .
4. 设椭圆 （a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记 , , ，则有 .
5. 若椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤ 时，可在椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为椭圆 （a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则 ,当且仅当 三点共线时，等号成立.
7. 椭圆 与直线 有公共点的充要条件是 .
8. 已知椭圆 （a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且 .（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为 ;（3） 的最小值是 .
9. 过椭圆 （a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .
10. 已知椭圆 （ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 , 则 .
11. 设P点是椭圆 （ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ，则(1) .(2) .
12. 设A、B是椭圆 （ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点， , , ，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) .(2) .(3) .
13. 已知椭圆 （ a＞b＞0）的右准线 与x轴相交于点 ，过椭圆右焦点 的直线与椭圆相交于A、B两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
1. 双曲线 （a＞0,b＞0）的两个顶点为 , ，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 .
2. 过双曲线 （a＞0,b＞o）上任一点 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且 （常数）.
3. 若P为双曲线 （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, , ，则 （或 ）.
4. 设双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2中，记 , , ，则有 .
5. 若双曲线 （a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤ 时，可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6. P为双曲线 （a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则 ,当且仅当 三点共线且 和 在y轴同侧时，等号成立.
7. 双曲线 （a＞0,b＞0）与直线 有公共点的充要条件是 .
8. 已知双曲线 （b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且 .
（1） ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 ;（3） 的最小值是 .
9. 过双曲线 （a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则 .
10. 已知双曲线 （a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 , 则 或 .
11. 设P点是双曲线 （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 ，则(1) .(2) .
12. 设A、B是双曲线 （a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点， , , ，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) .
(2) .(3) .
13. 已知双曲线 （a＞0,b＞0）的右准线 与x轴相交于点 ，过双曲线右焦点 的直线与双曲线相交于A、B两点,点 在右准线 上，且 轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
其他常用公式：
1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：
2、直线的一般式方程：任何直线均可写成 (A,B不同时为0)的形式。
3、知直线横截距 ，常设其方程为 (它不适用于斜率为0的直线)
与直线 垂直的直线可表示为 。
4、两平行线 间的距离为 。
5、若直线 与直线 平行
则 （斜率）且 （在 轴上截距） （充要条件）
6、圆的一般方程： ，特别提醒：只有当 时，方程 才表示圆心为 ，半径为 的圆。二元二次方程 表示圆的充要条件是 且 且 。
7、圆的参数方程： （ 为参数），其中圆心为 ，半径为 。圆的参数方程的主要应用是三角换元： ；
8、 为直径端点的圆方程
切线长：过圆 （ ）外一点 所引圆的切线的长为 （ ）
9、弦长问题：①圆的弦长的计算：常用弦心距 ，弦长一半 及圆的半径 所构成的直角三角形来解： ；②过两圆 、 交点的圆(公共弦)系为 ，当 时，方程 为两圆公共弦所在直线方程.。
攻克圆锥曲线解答题的策略
摘要:为帮助高三学生学好圆锥曲线解答题，提高成绩，战胜高考，可从四个方面着手：知识储备、方法储备、思维训练、强化训练。
关键词：知识储备 方法储备 思维训练 强化训练
第一、知识储备：
1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
②点到直线的距离 ③夹角公式：
（3）弦长公式
直线 上两点 间的距离：
或
（4）两条直线的位置关系
① =-1 ②
2、圆锥曲线方程及性质
(1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式）
标准方程：
距离式方程：
参数方程：
(2)、双曲线的方程的形式有两种
标准方程：
距离式方程：
(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？
(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？
如：已知 是椭圆 的两个焦点，平面内一个动点M满足 则动点M的轨迹是（ ）
A、双曲线；B、双曲线的一支；C、两条射线；D、一条射线
(5)、焦点三角形面积公式：
（其中 ）
(6)、记住焦半径公式：（1） ，可简记为“左加右减，上加下减”。
（2）
（3）
(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？
第二、方法储备
1、点差法（中点弦问题）
设 、 ， 为椭圆 的弦 中点则有
， ；两式相减得
=
2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什么？如果有两个参数怎么办？
设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，使用判别式 ，以及根与系数的关系，代入弦长公式，设曲线上的两点 ，将这两点代入曲线方程得到○1○2两个式子，然后○1-○2，整体消元••••••，若有两个字母未知数，则要找到它们的联系，消去一个，比如直线过焦点，则可以利用三点A、B、F共线解决之。若有向量的关系，则寻找坐标之间的关系，根与系数的关系结合消元处理。一旦设直线为 ，就意味着k存在。
例1、已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆 上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为 ，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
分析：第一问抓住“重心”，利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦BC的斜率，从而写出直线BC的方程。第二问抓住角A为 可得出AB⊥AC，从而得 ，然后利用联立消元法及交轨法求出点D的轨迹方程；
解：（1）设B（ , ）,C( , ),BC中点为( ),F(2,0)则有
两式作差有 (1)
F(2,0)为三角形重心，所以由 ，得 ，由 得 ，代入（1）得
直线BC的方程为
2)由AB⊥AC得 （2）
设直线BC方程为 ，得
，
代入（2）式得
，解得 或
直线过定点（0， ，设D（x,y），则 ，即
所以所求点D的轨迹方程是 。
4、设而不求法
例2、如图，已知梯形ABCD中 ，点E分有向线段 所成的比为 ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当 时，求双曲线离心率 的取值范围。
分析：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 ，如图，若设C ，代入 ，求得 ，进而求得 再代入 ，建立目标函数 ，整理 ，此运算量可见是难上加难.我们对 可采取设而不求的解题策略,
建立目标函数 ，整理 ,化繁为简.
解法一：如图，以AB为垂直平分线为 轴，直线AB为 轴，建立直角坐标系 ，则CD⊥ 轴因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于 轴对称
依题意，记A ，C ，E ，其中 为双曲线的半焦距， 是梯形的高，由定比分点坐标公式得
，
设双曲线的方程为 ，则离心率
由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和 代入双曲线方程得
， ①
②
由①式得 ， ③
将③式代入②式，整理得
，
故
由题设 得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
分析：考虑 为焦半径,可用焦半径公式, 用 的横坐标表示，回避 的计算, 达到设而不求的解题策略．
解法二：建系同解法一， ，
，又 ，代入整理 ，由题设 得，
解得
所以双曲线的离心率的取值范围为
5、判别式法
例3已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，双曲线的上支上有且仅有一点B到直线 的距离为 ，试求 的值及此时点B的坐标。
分析1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点B作与 平行的直线，必与双曲线C相切. 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式 . 由此出发，可设计如下解题思路：
解题过程略.
分析2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点B到直线 的距离为 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：
简解：设点 为双曲线C上支上任一点，则点M到直线 的距离为：
于是，问题即可转化为如上关于 的方程.
由于 ，所以 ，从而有
于是关于 的方程
由 可知：
方程 的二根同正，故 恒成立，于是 等价于
.
由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 .
点评：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.
例4已知椭圆C: 和点P（4，1），过P作直线交椭圆于A、B两点，在线段AB上取点Q，使 ，求动点Q的轨迹所在曲线的方程.
分析：这是一个轨迹问题，解题困难在于多动点的困扰，学生往往不知从何入手。其实，应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此，首先是选定参数，然后想方设法将点Q的横、纵坐标用参数表达，最后通过消参可达到解题的目的.
由于点 的变化是由直线AB的变化引起的，自然可选择直线AB的斜率 作为参数，如何将 与 联系起来？一方面利用点Q在直线AB上；另一方面就是运用题目条件： 来转化.由A、B、P、Q四点共线，不难得到 ，要建立 与 的关系，只需将直线AB的方程代入椭圆C的方程，利用韦达定理即可.
通过这样的分析，可以看出，虽然我们还没有开始解题，但对于如何解决本题，已经做到心中有数.
在得到 之后，如果能够从整体上把握，认识到：所谓消参，目的不过是得到关于 的方程（不含k），则可由 解得 ，直接代入 即可得到轨迹方程。从而简化消去参的过程。
简解：设 ，则由 可得： ，
解之得： （1）
设直线AB的方程为： ，代入椭圆C的方程，消去 得出关于 x的一元二次方程：
（2）
∴
代入（1），化简得： (3)
与 联立，消去 得：
在（2）中，由 ，解得 ，结合（3）可求得
故知点Q的轨迹方程为： （ ）.
点评：由方程组实施消元，产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程，其判别式、韦达定理模块思维易于想到. 这当中，难点在引出参，活点在应用参，重点在消去参.，而“引参、用参、消参”三步曲，正是解析几何综合问题求解的一条有效通道.
6、求根公式法
例5设直线 过点P（0，3），和椭圆 顺次交于A、B两点，试求 的取值范围.
分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.
分析1: 从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量 ，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB的斜率k. 问题就转化为如何将 转化为关于k的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.
简解1：当直线 垂直于x轴时，可求得 ;
当 与x轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得
解之得
因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑 的情形.
当 时， ， ，
所以 = = = .
由 , 解得 ，
所以 ，
综上 .
分析2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.
简解2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得
（*）
则
令 ，则，
在（*）中，由判别式 可得 ，
从而有 ，所以 ，解得 .
结合 得 .
综上， .
点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.
解题犹如打仗，不能只是忙于冲锋陷阵，一时局部的胜利并不能说明问题，有时甚至会被局部所纠缠而看不清问题的实质所在，只有见微知著，树立全局观念，讲究排兵布阵，运筹帷幄，方能决胜千里.
第三、推理训练：数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式，它是数学求解的核心。以已知的真实数学命题，即定义、公理、定理、性质等为依据，选择恰当的解题方法，达到解题目标，得出结论的一系列推理过程。在推理过程中，必须注意所使用的命题之间的相互关系（充分性、必要性、充要性等），做到思考缜密、推理严密。通过编写思维流程图来锤炼自己的大脑，快速提高解题能力。
例6椭圆长轴端点为 ， 为椭圆中心， 为椭圆的右焦点，且 ， ．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）记椭圆的上顶点为 ，直线 交椭圆于 两点，问：是否存在直线 ，使点 恰为 的垂心？若存在，求出直线 的方程;若不存在，请说明理由。
思维流程：
解题过程：
（Ⅰ）如图建系，设椭圆方程为 ,则
又∵ 即 ，∴
故椭圆方程为
（Ⅱ）假设存在直线 交椭圆于 两点，且 恰为 的垂心，则
设 ，∵ ，故 ，
于是设直线 为 ，由 得，
∵ 又
得 即
由韦达定理得
解得 或 （舍） 经检验 符合条件．
点石成金：垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边，然后转化为两向量乘积为零．
例7、已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过 、 、 三点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程：
（Ⅱ）若点D为椭圆 上不同于 、 的任意一点， ，当Δ 内切圆的面积最大时，求Δ 内心的坐标；
思维流程：
（Ⅰ）
解题过程： （Ⅰ）设椭圆方程为 ，将 、 、 代入椭圆E的方程，得
解得 .∴椭圆 的方程 ．
（Ⅱ） ，设Δ 边上的高为
当点 在椭圆的上顶点时， 最大为 ，所以 的最大值为 ．
设Δ 的内切圆的半径为 ，因为Δ 的周长为定值6．所以，
所以 的最大值为 ．所以内切圆圆心的坐标为 .
点石成金：
例8、已知定点 及椭圆 ，过点 的动直线与椭圆相交于 两点.
（Ⅰ）若线段 中点的横坐标是 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）在 轴上是否存在点 ，使 为常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
思维流程：
（Ⅰ）解：依题意，直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
将 代入 ， 消去 整理得
设
则
由线段 中点的横坐标是 ， 得 ，解得 ，符合题意。
所以直线 的方程为 ，或 .
（Ⅱ）解：假设在 轴上存在点 ，使 为常数.
① 当直线 与 轴不垂直时，由（Ⅰ）知
所以
将 代入，整理得
注意到 是与 无关的常数， 从而有 ， 此时
② 当直线 与 轴垂直时，此时点 的坐标分别为 ，当 时， 亦有
综上，在 轴上存在定点 ，使 为常数.
点石成金：
例9、已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线 在y轴上的截距为m（m≠0）， 交椭圆于A、B两个不同点。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
思维流程：
解：（1）设椭圆方程为
则 ∴椭圆方程为
（Ⅱ）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=
由
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，
（Ⅲ）设直线MA、MB的斜率分别为k1，k2，只需证明k1+k2=0即可
设
则
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.
点石成金：直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形
例10、已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原点的距离是
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线 交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.
思维流程：
解：∵（1） 原点到直线AB： 的距离 .
故所求双曲线方程为
（2）把 中消去y，整理得 .
设 的中点是 ，则
即
故所求k=± .
点石成金: C，D都在以B为圆心的圆上 BC=BD BE⊥CD;
例11、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（II）若直线 y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标．
思维流程：
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为 ，
由已知得： ，
椭圆的标准方程为 ．
（II）设 ．
联立
得 ，则
又 ．
因为以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，
，即 . ．
． ．
解得： ，且均满足 ．
当 时， 的方程 ，直线过点 ，与已知矛盾；
当 时， 的方程为 ，直线过定点 ．
所以，直线 过定点，定点坐标为 ．
点石成金：以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点 CA⊥CB;
例12、已知双曲线 的左右两个焦点分别为 ,点P在双曲线右支上.
（Ⅰ）若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
思维流程：
解：（Ⅰ）(法一)由题意知, , ,
, （1分）
解得 . 由双曲线定义得:
,
所求双曲线的方程为:
(法二) 因 ,由斜率之积为 ,可得解.
（Ⅱ）设 ,
(法一)设P的坐标为 , 由焦半径公式得 , , ，
的最大值为2,无最小值. 此时 ,
此时双曲线的渐进线方程为
(法二)设 , .
(1)当 时, ,
此时 .
(2)当 ,由余弦定理得:
,
, ,综上, 的最大值为2,但 无最小值. (以下法一)
