9.8圆锥曲线的综合问题
★知识梳理★
1.直线与圆锥曲线C的位置关系：
将直线 的方程代入曲线C的方程，消去y或者消去x，得到一个关于x（或y）的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)交点个数：
①当 a＝0或a≠0，⊿＝0 时,曲线和直线只有一个交点；②当 a≠0,⊿>0时,曲线和直线有两个交点；③ 当⊿<0 时,曲线和直线没有交点。
(2) 弦长公式：
2.对称问题：
曲线上存在两点关于已知直线对称的条件：①曲线上两点所在的直线与已知直线垂直（得出斜率）②曲线上两点所在的直线与曲线有两个公共点（⊿>0）③曲线上两点的中点在对称直线上。
3.求动点轨迹方程：
①轨迹类型已确定的,一般用待定系数法；②动点满足的条件在题目中有明确的表述且轨迹类型未知的,一般用直接法；③一动点随另一动点的变化而变化，一般用代入转移法。
★重难点突破★
重点：掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法及弦长公式；掌握弦中点轨迹的求法； 理解和掌握求曲线方程的方法与步骤，能利用方程求圆锥曲线的有关范围与最值
难点：轨迹方程的求法及圆锥曲线的有关范围与最值问题
重难点：综合运用方程、函数、不等式、轨迹等方面的知识解决相关问题
1.体会“设而不求”在解题中的简化运算功能
①求弦长时用韦达定理设而不求;②弦中点问题用“点差法”设而不求.
2.体会数学思想方法（以方程思想、转化思想、数形结合思想为主）在解题中运用
问题1：已知点 为椭圆 的左焦点，点 ，动点 在椭圆上，则 的最小值为 .
点拨：设 为椭圆的右焦点，利用定义将 转化为 ，结合图形， ，当 共线时最小，最小值为
★热点考点题型探析★
考点1直线与圆锥曲线的位置关系
题型1：交点个数问题
[例1 ] 设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A．[－ ， ] B．[－2，2] C．[－1，1] D．[－4，4]
【解题思路】解决直线与圆锥曲线的交点个数问题的通法为判别式法
[解析] 易知抛物线 的准线 与x轴的交点为Q (－2 , 0)，
于是，可设过点Q (－2 , 0)的直线 的方程为 ，
联立
其判别式为 ，可解得 ，应选C.
【名师指引】（1）解决直线与圆锥曲线的交点问题的方法：一是判别式法；二是几何法
（2）直线与圆锥曲线有唯一交点，不等价于直线与圆锥曲线相切，还有一种情况是平行于对称轴（抛物线）或平行于渐近线（双曲线）
（3）联立方程组、消元后得到一元二次方程，不但要对 进行讨论，还要对二次项系数是否为0进行讨论
【新题导练】
1. （09摸底）已知将圆 上的每一点的纵坐标压缩到原来的 ,对应的横坐标不变,得到曲线C；设 ，平行于OM的直线 在y轴上的截距为m(m≠0),直线 与曲线C交于A、B两个不同点.
(1)求曲线 的方程；(2)求m的取值范围.
[解析]（1）设圆上的动点为 压缩后对应的点为 ，则 ，
代入圆的方程得曲线C的方程：
（2）∵直线 平行于OM，且在y轴上的截距为m,又 ,
∴直线 的方程为 . 由 , 得
∵直线 与椭圆交于A、B两个不同点，∴
解得 .∴m的取值范围是 .
题型2：与弦中点有关的问题
[例2]（08韶关调研）已知点A、B的坐标分别是 ， .直线 相交于点M，且它们的斜率之积为－2. (Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点 的直线 交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段CD的中点，求直线 的方程.
【解题思路】弦中点问题用“点差法”或联立方程组，利用韦达定理求解
[解析] (Ⅰ)设 ，
因为 ,所以 化简得:
(Ⅱ) 设
当直线 ⊥x轴时, 的方程为 ,则 ,它的中点不是N,不合题意
设直线 的方程为 将 代入 得
…………(1) …………(2)
(1)－(2)整理得:
直线 的方程为 即所求直线 的方程为
解法二: 当直线 ⊥x轴时,直线 的方程为 ,则 ,
其中点不是N,不合题意.故设直线 的方程为 ,
将其代入 化简得
由韦达定理得 ,
又由已知N为线段CD的中点,得 ,解得 ,
将 代入(1)式中可知满足条件.
此时直线 的方程为 ,即所求直线 的方程为
【名师指引】通过将C、D的坐标代入曲线方程，再将两式相减的过程，称为代点相减．这里，代点相减后，适当变形，出现弦PQ的斜率和中点坐标，是实现设而不求（即点差法）的关键．两种解法都要用到“设而不求”，它对简化运算的作用明显，用“点差法”解决弦中点问题更简洁
【新题导练】
2.椭圆 的弦被点 所平分，求此弦所在直线的方程。
[解析]设弦所在直线与椭圆交于 两点，则
， ，两式相减得： ，
化简得 ，
把 代入得
故所求的直线方程为 ，即
3.已知直线y＝－x＋1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y＝0上，求此椭圆的离心率
[解析] 设 ，AB的中点为 ,
代入椭圆方程得 ， ,两式相减,得 .
AB的中点为 在直线 上， ，
，而
题型3：与弦长有关的问题
[例3](山东泰州市联考)已知直线 被抛物线 截得的弦长 为20， 为坐标原点．（1）求实数 的值；
（2）问点 位于抛物线弧 上何处时，△ 面积最大？
【解题思路】用“韦达定理”求弦长；考虑△ 面积的最大值取得的条件
[解析]（1）将 代入 得 ，
由△ 可知 ，弦长AB ，解得 ；
（2）当 时，直线为 ，要使得内接△ABC面积最大，
则只须使得 ，即 ，即 位于（4，4）点处．
【名师指引】用“韦达定理”不要忘记用判别式确定范围
【新题导练】
4. (山东省济南市高三统一考试)
已知椭圆 与直线 相交于两点 ．
（1）当椭圆的半焦距 ，且 成等差数列时，求椭圆的方程；
（2）在（1）的条件下，求弦 的长度 ；
[解析]（1）由已知得： ，∴
所以椭圆方程为：
（2） ，由 ，得
∴ ∴
（文）已知点 和 ，动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线 交于D、E两点，求线段DE的长．
（文）解：根据双曲线的定义，可知C的轨迹方程为 ．设 ， ，
联立 得 ．则 ．
所以 ．
故线段DE的长为 ．
考点2：对称问题
题型：对称的几何性质及对称问题的求法（以点的对称为主线，轨迹法为基本方法）
【新题导练】
[例4 ] 若直线l过圆x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心M交椭圆 ＝1于A、B两点，若A、B关于点M对称，求直线l的方程．
[解析] ，设 ，则
又 ， ，两式相减得： ，
化简得 ，
把 代入得
故所求的直线方程为 ，即
所以直线l的方程为 ：8x－9y＋25＝0.
5.已知抛物线y2＝2px上有一内接正△AOB，O为坐标原点.
求证：点A、B关于x轴对称；
[解析]设 ， ， ，
，即 ，
， ， ，故点A、B关于x轴对称
6.在抛物线y2＝4x上恒有两点关于直线y＝kx＋3对称，求k的取值范围.
[解析] （1）当 时，曲线上不存在关于直线对称的两点．
（2）当k≠0时，设抛物线y2＝4x上关于直线对称的两点 ，AB的中点为 ，则直线 直线的斜率为直线 ，可设
代入y2＝4x得
，
在直线y＝kx＋3上， ，
代入 得即 ,又 恒成立，所以－1＜k＜0．
综合（1）（2），k的取值范围是（－1，0）
考点3 圆锥曲线中的范围、最值问题
题型：求某些变量的范围或最值
[例5]已知椭圆 与直线 相交于两点 ．当椭圆的离心率 满足 ，且 （ 为坐标原点）时，求椭圆长轴长的取值范围．
【解题思路】通过“韦达定理”沟通a与e的关系
[解析]由 ，得
由 ，得 此时
由 ，得 ，∴
即 ，故 由 ，得
∴ 由 得 ，∴
所以椭圆长轴长的取值范围为
【名师指引】求范围和最值的方法：
几何方法：充分利用图形的几何特征及意义，考虑几何性质解决问题
代数方法：建立目标函数，再求目标函数的最值．
【新题导练】
7. 已知P是椭圆C： 的动点，点 关于原点O的对称点是B，若|PB|的最小值为 ，求点P的横坐标的取值范围。
[解析]由 ，设
，
， ，解得 或
又 或
8. 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 上移动，记线段AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标．
[解析] 设 ， ，
因AB与x轴不平行，故可设AB的方程为 ，
将它代入 得
由 得 即
，
将 代入得
当且仅当 即 时取等号，此时，
所以，点M 为 或 时，到y轴的最短距离最小，最小值为 ．
9.直线m：y＝kx＋1和双曲线x2－y2＝1的左支交于A，B两点，直线 过点P（－2，0）和线段AB的中点M，求 在y轴上的截距b的取值范围．
[解析] 由 消去y得：
解得
设M（x0，y0）则
三点共线
令 上为减函数.
10.已知椭圆 ，A（4，0），B（2，2）是椭圆内的两点，P是椭圆上任一点，求：（1）求 的最小值；
（2）求|PA|＋|PB|的最小值和最大值．
[解析]（1）最小值为
（2）最大值为10＋|BC|＝ ；最小值为10－|BC|＝ ．
考点4 定点，定值的问题
题型：论证曲线过定点及图形（点）在变化过程中存在不变量
[例6] 已知P、Q是椭圆C： 上的两个动点， 是椭圆上一定点， 是其左焦点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
【解题思路】利用“|PF|、|MF|、|QF|成等差数列”找出两动点间的坐标关系
证明：设 知
同理
①当 ，
从而有 设PQ的中点为 ，
得线段PQ的中垂线方程为
②当
线段PQ的中垂线是x轴，也过点
【名师指引】定点与定值问题的处理一般有两种方法：
（1）从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关;
（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）．
【新题导练】
11.已知抛物线C的方程为y＝x2－2m2x－(2m2＋1) (m∈R)，则抛物线C恒过定点
[解析](－1,0) [令x＝－1得y＝0]
12.试证明双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）上任意一点到它的两条渐近线的距离之积为常数.
[解析] 双曲线上任意一点为 ，
它到两渐近线的距离之积
考点6 曲线与方程
题型：用几种基本方法求轨迹方程
[例7]已知抛物线C： y2＝4x，若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；
【解题思路】探求动点满足的几何关系，在转化为方程
［解析］由抛物线y2＝4x,得焦点F(1,0),准线 x＝－1
(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y), 椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|＝e,
又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d＝e,∴|FO′|∶|BF|＝|BF|∶d,
即(2x－2)2＋(2y)2＝2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2＝x－1(x＞1)
[名师指引] 求曲线方程的方法主要有：直接法、定义法、代入法、参数法，本题用到直接法，但题目条件需要转化
【新题导练】
13.点P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，则点M的轨迹方程是 .
[解析] [相关点法]
14.过双曲线C: 的右焦点F作直线l与双曲线C交于P、Q两点， ,求点M的轨迹方程．
[解析]右焦点（2，0），设
得 ， ，直线l的斜率
又 , ,两式相减得 ,
把 ， ， 代入上式得
15.已知动点 与双曲线 的两个焦点 、 的距离之和为定值，且 的最小值为 ．求动点 的轨迹方程；
[解析]（1）由条件知，动点 的轨迹为椭圆，其中半焦距为 ，
点P在y轴上时 最大，由余弦定理得 ，动点 的轨迹方程 ．
16. (广东实验中学)已知圆C: .
(1)直线 过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若 ，求直线 的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于y轴的直线m，设m与x轴的交点为N，若向量 ，求动点 的轨迹方程.
(3) 若点R(1,0)，在（2）的条件下，求 的最小值.
解析（1）①当直线 垂直于 轴时，则此时直线方程为 ， 与圆的两个交点坐标为 和 ，其距离为 ，满足题意 ……1分
②若直线 不垂直于 轴，设其方程为 ，即 …2分
设圆心到此直线的距离为 ，则 ，得
∴ ， ，………4分 故所求直线方程为3x－4y＋5＝0
综上所述，所求直线为3x－4y＋5＝0或x＝1 ……………5分
(2)设点M的坐标为(x0,y0)，Q点坐标为(x,y)则N点坐标是(x0, 0)
∵ ，∴ 即 ， ………7分
又∵ ，∴ …………9分
直线m //y轴，所以， ,∴ 点的轨迹方程是 ( )……10分
（3）设Q坐标为(x,y)， ， ，……11分
又 ( )可得：
.………13分
…………14分
★课后训练★
基础巩固训练
1. 已知 是三角形的一个内角，且 ，则方程 表示
（A）焦点在x轴上的椭圆 （B）焦点在y轴上的椭圆
（C）焦点在x 轴上的双曲线 （D）焦点在y 轴上的双曲线
1.[解析] B. 由 知 ，
2. 已知点M（3，4）在一椭圆上，则以点M为顶点的椭圆的内接矩形的面积是（ ）
（A）12 （B）24 （C）48 （D）与椭圆有关
2. [解析] C [由椭圆的对称性可知];
3. 已知点F（ ，直线 ，点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是 （ ）
A．双曲线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
3.[解析]D. [MB＝MF]
4. 过双曲线 的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且 ，则这样的直线有___________条.
4.[解析] 3； 垂直于实轴的弦长为4,实轴长为2.
5. 是椭圆 的左、右焦点，点 在椭圆上运动，则 的最大值是 ．
5.[解析] ≤ ;
6. 若双曲线 与圆 有公共点，则实数 的取值范围为 .
6. [解析] [ ]
综合提高训练
7. 已知抛物线 的弦AB经过点P（4，2）且OA⊥OB（O为坐标原点），弦AB所在直线的方程为
7.[解析] 12x —23y—2＝0 记住结论：
8.已知椭圆 ，直线l到原点的距离为 求证：直线l与椭圆必有两上交点.
8.[解析] 证明：当直线l垂直x轴时，由题意知：
不妨取 代入曲线E的方程得：
即G（ ， ），H（ ，－ ）有两个不同的交点，
当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为：
由题意知：
由
∴直线l与椭圆E交于两点, 综上，直线l必与椭圆E交于两点
9. 求过椭圆 内一点A（1，1）的弦PQ的中点M的轨迹方程．
9.［解析］解：设动弦PQ的方程为 ，设P（ ），Q（ ），M（ ），则： ① ②
①－②得：
当 时，
由题意知 ，即 ③
③式与 联立消去k，得 ④
当 时，k不存在，此时， ，也满足④．
故弦PQ的中点M的轨迹方程为：
10 .已知抛物线 ．过动点M（ ，0）且斜率为1的直线 与该抛物线交于不同的两点A、B．若 ,求a的取值范围．
10 .[解析]直线 的方程为 ，将 ，
得: ．
设直线 与抛物线的两个不同交点的坐标为 、 ，
则 又 ，
∴ ．
∵ ，∴ ．
解得 ．
11. 过抛物线 的焦点作一条斜率为k(k≠0)的弦，此弦满足：①弦长不超过8；②弦所在的直线与椭圆3x2 ＋ 2y2 ＝ 2相交，求k的取值范围．
11. 解析：抛物线 的焦点为(1，0)，设弦所在直线方程为
由 得 2分
∴ 故
由 ，解得k≥1
由 得 8分
由 ，解得k2 < 3 因此1≤k2 < 3
∴k的取值范围是[ ，－1]∪[1， ]
12. 在直角坐标平面内，已知两点A（－2，0）及B（2，0），动点Q到点A的距离为6，线段BQ的垂直平分线交AQ于点P。
（Ⅰ）证明|PA|＋|PB|为常数，并写出点P的轨迹T的方程；
12. 解：）连结PB∵线段BQ的垂直平分线与AQ交于点P，∴|PB|＝|PQ|，又|AQ|＝6，
∴|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PQ|＝|AQ|＝6（常数）。
又|PA|＋|PB|>|AB|，从而P点的轨迹T是中心在原点，以A、B为两个焦点，长轴在x轴上的椭圆，其中，2a＝6，2c＝4，∴椭圆方程为
