众所周知，人口的增长并不是按比例线性增长的，也就是说人口问题是非线性动力学问题。在非线性系统中，可能会出现分岔现象，分岔理论为我们研究人口问题提供了一种新的方法。分岔和混沌是非线性系统特有的现象，而实际上我们所处的社会经济系统中的绝大部分都是非线性，因此可以运用分岔和混沌理论来研究。本文将分岔和混沌理论用以研究人口问题，提出了人口的跨临界分岔。
一、模型的建立
设在时刻t（以年为单位）时的人口数量为p(t)，则人口的增长率为，再假设出生率b(p,t)和死亡率d(p,t)不随时间变化，则由马尔萨斯人口理论可得：
附图
其中：d[,1]=b(p,t)-d(p,t)＞0，一般而言出生率大于死亡率。
显然马尔萨斯模型存在着重大的缺陷，它没有考虑到物种之间的竞争、自然界的平衡和人文环境因素，即生活资料及空间的局限、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及传统观念等因素。
生活资料及空间的局限和人与人的竞争会导致冲突，对人口的增长起到制约的作用。统计规律显示，从人口p(t)中随机抽取一个人，他与其他人冲突的概率与人口总数成正比，即：冲突次数＝k[,1]p(t)，那么个人冲突的总次数为。而制约作用也是随着总次数的增长而增长的，同总次数成正比，以δ[,1](p,t)表示制约作用，则
附图
可以认为影响作用与生产力发展水平α[,2]成反比，与文化发展水平α[,3]成反比，与中国传统观念α[,4]成正比，与人口数量p(t)成正比，用δ[,2](p,t)表示这种影响，则：
附图
假设在未来的若干年内，各地区的人口比例保持不变，则对于某个地区来说，机械迁徙的人口数量与该地区经济发达程度α[,5]成正比，与迁出区的人口数量成正比，由于可以近似地认为各地区的人口比例不变，所以可以认为与该地区的人口数量成正比，则：
附图
二、模型分析
附图
运用稳定性分析方法，可以很容易地判断其稳定性。
附图
图中，实线表示稳定，虚线表示不稳定。由分岔图可以看出该模型发生跨临界分岔。由分岔图可以看出，在α的某个领域内，当α＞0时，人口数量是稳定增长的；而当α＜0时，从α系数的物理含义上看，说明死亡率大于其他影响因素系数之和，但是此时由于先前α＞0，人口数量已经有所增加，所以能保持人口数量的稳定，同时我们也可以看出只有短期内保持α＜0，人口数量才会稳定。
将再分岔出周期8解、16解等等，大约在3.56994时，进入混沌区，如图2所示。
三、模型的求解
设初始时刻t[,0]的人口为p[,0]，将(5)式分离变量后两边取定积分，进行求解可得：
附图
只要求出α和β，就可以运用(9)式作人口预测。理论上，只要将两年的年份与人口数量，即：t[,1]、P(t[,1])、t[,2]、P(t[,2])代入(9)式，则可得一个二元方程组，通过求解此二元方程组，便可以得到α和β值，但是此二元方程组为超越方程组，求解十分困难。
生态学家通过大量的统计，认为不鼓励也不限制生育时的α值为0.029，将α代入(9)式则可求得：，可以看出β会随着所代入的t的不同而变化，不再是一个常数，而是一个变量；另一方面，我国实行计划生育，限制了出生率，并且模型(5)中考虑了生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、文化水平以及中国传统观念等因素的影响，因此α的值不再是0.029。
基于上述原因，本文采用数值解法，即：确定适当的α和β，使得：
附图
其中：p[,i]是第i年的人口数量。则
附图
根据(11)式求解十分复杂，可以用Matlab或c语言编写一段程序，在一定范围内搜索α与β值，使得(10)式成立。
四、实证分析
本文就河北省1952年～2000年人口数量进行实证分析和检验。众所周知，在建国后近50年中，我国经历了3年自然灾害，80年代开始实行了计划生育政策，这些都会改变动力系统的特征，因此不能将这49年的数据看成是同一动力系统的，而应该将它们分成不同的动力系统：1952年～1959年、1966年～1979年、1980年～1989年、1990年～2000年。3年自然灾害造成了人口数量的骤减，不仅改变了动力系统的特征，而且还造成了1960年～1965年数据的不稳定，应予以剔除；80年代后实行计划生育，但是1989年的学潮引起了大量人口的机械迁移，因此90年代视为另一个动力系统。
表1 数据计算和检验 （单位：万人）
附图
由表1可以看出，使用本文所提出的方法，能够较为精确地预测出人口的数量。四个阶段的α均大于0.029，这表明生活资料和空间的局限性、人与人的竞争、生产力水平、文化水平、中国传统观念、人口机械迁移以及实行计划生育等因素的综合影响，使人口趋于增多。相对人口增长率，即，总体上越来越小，80年代的攀升主要是由于人口迁移的影响，从整体上看人口自然增长率（一般小于人口增长率）也是逐年降低的。
【责任编辑】顾岚
【参考文献】
1 方亚玲.《对人口模型的研究》.《山西煤炭管理干部学院学报》，2000年第2期.
2 罗警山.《人口模型中的分岔研究》.《系统工程与电子技术》，1990年第10期.
3 王洪礼，张琪昌.《非线性动力学理论及应用》，天津科学技术出版社，1999.
