直线与平面的位置关系

总 课 题 点、线、面之间的位置关系 总课时 第11课时
分 课 题 直线与平面的位置关系（三） 分课时 第3课时
教学目标 了解直线和平面所成角的概念和范围；能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理.
重点难点 直线与平面所成角的概念．
引入新课
1．通过观察一条直线与一个平面相交，思考如何量化它们相交程度的不同．
2．平面的斜线的定义：                                                         ；
                      叫做斜足；                     叫做这个点到平面的斜线段．
3．过平面外一点 向平面 引斜线和垂线，那么过斜足 与垂足
的直线就是                                        ；
线段 就是线段                               ．
4．斜线与平面所成的角的概念                      
                  ，其范围是                    ．
指出右上图中斜线 与平面 所成的角是          ，你能证明这个角是 与平面 内经过点 的直线所成的所有角中最小的角吗？
一条直线垂直于平面时，这条直线与平面所成的角是    　　　　　；
一条直线与平面平行或在平面内，我们说他们所成的角是       　 ．
思考：直线与平面所成的角的范围是            　　　　　　    ．
例题剖析
例1 　如图：已知 ， 分别是平面 垂线和斜线， 分别是垂足和斜足，   ，   ，求证：   ．
 

能用文字语言表述这个结论吗？
例2 　如图，∠BAC在平面 内，点P   ，∠PAB=∠PAC．求证：点P在平面 内的射影在∠BAC的平分线上．
 
[思考]：
（1）若∠PAB=∠PAC=60°，∠BAC=90°，则直线PA与 所成角的大小__________．

（2）从平面 外同一点引平面的斜线段长相等，那么它们在 内射影长相等吗？反之成立吗?

（3）若将例2中条件“∠PAB=∠PAC”改为“点P到∠BAC的两边AB、AC的距离相等”，结论是否仍然成立？

（4）你能设计一个四个面都是直角三角形的四面体吗？

巩固练习
1．如图， ， 平面 ，则在 的边所在直线中：
（1）与 垂直的直线有：                            
（2）与 垂直的直线有：                            
2．在正方体 中，直线 与平面
所成的角是           
3．如果PA、PB、PC两两垂直, 那么P在平面ABC内的射影一定是△ABC的  (     )
  A．重心         B．内心          C．外心           D．垂心
4．如图，一块正方体木料的上底面内有一点 ，要经过点 在上底面内画一条直线与 垂直，应怎样画？
课堂小结
平面的斜线及斜线在平面内的射影的概念；直线与平面所成的角概念、范围．
 
课后训练
一　基础题
1．若直线 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 垂直的直线         （    ）
 只有一条      有无数条      是平面 内的所有直线      不存在
2．设PA、PB、PC是从点P引出的三条射线, 每两条的夹角都等于60°，
则直线PC与平面APB所成角的余弦值是          ．
3．在三棱锥P-ABC中，顶点P在平面ABC内的射影是△ABC的外心，
则三条侧棱PA、PB、PC大小关系是_________________．
二　提高题
4．在四棱锥 中， 是矩形， 平面 ．
（1）指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由；
（2）若 ，试求 与平面 所成角的正切值．
 

5．求证：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直．
 
三　能力题
6．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC上的射影O是△ABC的垂心，求证：PA⊥BC．