22.3 实际问题与一元二次方程(4)

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教学内容
    运用速度、时间、路程的关系建立一元二次方程数学模型解决实际问题．
    教学目标
    掌握运用速度、时间、路程三者的关系建立数学模型并解决实际问题．
    通过复习速度、时间、路程三者的关系，提出问题，用这个知识解决问题．
    重难点关键
    1．重点：通过路程、速度、时间之间的关系建立数学模型解决实际问题．
    2．难点与关键：建模．
    教学过程
    一、复习引入
    路程、速度和时间三者的关系是什么？
    二、探究新知
    我们这一节课就是要利用同学们刚才所回答的“路程＝速度×时间”来建立一元二次方程的数学模型，并且解决一些实际问题．
    请思考下面的二道例题．
    例1．某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程s（m）和时间t（s）之间的关系为：s=10t+3t2，那么行驶200m需要多长时间?
    分析：这是一个加速运运，根据已知的路程求时间，因此，只要把s=200代入求关系t的一元二次方程即可．
    解：当s=200时，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0
    解得t= （s）
    答：行驶200m需 s．
    例2．一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行25m后停车．
    （1）从刹车到停车用了多少时间?
    （2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
    （3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
    分析：（1）刚刹车笔彼倩故?0m/s，以后逐渐减少，停车时时速为0．因为刹车以后，其速度的减少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是匀速的，因此，其平均速度为 =10m/s，那么根据：路程=速度×时间，便可求出所求的时间．
    （2）很明显，刚要刹车时车速为20m/s，停车车速为0，车速减少值为20-0=20，因为车速减少值20，是在从刹车到停车所用的时间内完成的，所以20除以从刹车到停车的时间即可．
    （3）设刹车后汽车滑行到15m时约用除以xs．由于平均每秒减少车速已从上题求出，所以便可求出滑行到15米的车速，从而可求出刹车到滑行到15m的平均速度，再根据：路程=速度×时间，便可求出x的值．
    解：（1）从刹车到停车所用的路程是25m；从刹车到停车的平均车速是 =10（m/s）那么从刹车到停车所用的时间是 =2.5（s）
    （2）从刹车到停车车速的减少值是20-0=20    从刹车到停车每秒平均车速减少值是 =8（m/s）（3）设刹车后汽车滑行到15m时约用了xs，这时车速为（20-8x）m/s
    则这段路程内的平均车速为 =（20-4x）m/s
    所以x（20-4x）=15
    整理得：4x2-20x+15=0
    解方程：得x=
    x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）
    答：刹车后汽车行驶到15m时约用0.9s．
    三、巩固练习
    （1）同上题，求刹车后汽车行驶10m时约用了多少时间．（精确到0.1s）
    （2）刹车后汽车行驶到20m时约用了多少时间．（精确到0.1s）
    四、应用拓展
    例3．如图，某海军基地位于a处，在其正南方向200海里处有一重要目标b，在b的正东方向200海里处有一重要目标c，小岛d位于ac的中点，岛上有一补给码头：小岛f位于bc上且恰好处于小岛d的正南方向，一艘军舰从a出发，经b到c匀速巡航，一般补给船同时从d出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．
    （1）小岛d和小岛f相距多少海里?
    （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由b到c的途中与补给船相遇于e处，那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里）
    分析：（1）因为依题意可知△abc是等腰直角三角形，△dfc也是等腰直角三角形，ac可求，cd就可求，因此由勾股定理便可求df的长．
    （2）要求补给船航行的距离就是求de的长度，df已求，因此，只要在rt△def中，由勾股定理即可求．
    解：（1）连结df，则df⊥bc
    ∵ab⊥bc，ab=bc=200海里．
    ∴ac= ab=200 海里，∠c=45°
    ∴cd= ac=100 海里
    df=cf， df=cd
    ∴df=cf= cd= ×100 =100（海里）
    所以，小岛d和小岛f相距100海里．
    （2）设相遇时补给船航行了x海里，那么de=x海里，ab+be=2x海里，
    ef=ab+bc-（ab+be）-cf=（300-2x）海里
    在rt△def中，根据勾股定理可得方程
    x2=1002+（300-2x）2
    整理，得3x2-1200x+100000=0
    解这个方程，得：x1=200- ≈118.4
    x2=200+ （不合题意，舍去） 所以，相遇时补给船大约航行了118.4海里．
    五、归纳小结
    本节课应掌握：运用路程＝速度×时间，建立一元二次方程的数学模型，并解决一些实际问题．
    六、作业
    一、选择题
    1．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为（  ）．
    a．25      b．36      c．25或36     d．-25或-36
    2．某种出租车的收费标准是：起步价7元（即行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到乙地共支付车费19元，则此人从甲地到乙地经过的路程（  ）．
    a．正好8km    b．最多8km    c．至少8km     d．正好7km
    二、填空题
    1．以大约与水平成45°角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s（单位：m）与标枪出手的速度v（单位：m/s）之间大致有如下关系：s= +2    如果抛出40m，那么标枪出手时的速度是________（精确到0.1）
    2．一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（m）与时间t（s）的数据如下：
时间t（s）
1
2
3
4
……
距离s（m）
2
8
18
32
……
    写出用t表示s的关系式为_______．
    三、综合提高题
    1．一个小球以10m/s的速度在平坦地面上开始滚动，并且均匀减速，滚动20m后小球停下来．
    （1）小球滚动了多少时间?
    （2）平均每秒小球的运动速度减少多少?
    （3）小球滚动到5m时约用了多少时间（精确到0.1s）?
    2．某军舰以20节的速度由西向东航行，一艘电子侦察船以30节的速度由南向北航行，它能侦察出周围50海里（包括50海里）范围内的目标．如图，当该军舰行至a处时，电子侦察船正位于a处正南方向的b处，且ab=90海里，如果军船和侦察船仍按原速度沿原方向继续航行，那么航行途中侦察船能否侦察到这艘军舰?如果能，最早何时能侦察到?如果不能，请说明理由．
    答案:
    一、1．c  2．b
    二、1．19.3m/s  2．s=2t2
    三、
    1．（1）小球滚动的平均速度= =5（m/s）  小球滚动的时间： =4（s）
    （2） =2.5（m/s）
    （3）小球滚动到5m时约用了xs  平均速度= =  依题意，得：x· =5，整理得：x2-8x+4=0
    解得：x=4±2 ，所以x=4-2
    2．能．设侦察船最早由b出发经过x小时侦察到军舰，则（90-30x）2+（20x）2=502
    整理，得：13x2-54x+56=0，即（13x-28）（x-2）=0，x1=2 ，x2=2，
    ∴最早再过2小时能侦察到．