反比例函数
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1．反比例函数：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 (k为常数，k≠0）的形式（或y=kx-1，k≠0），那么称y是x的反比例函数．
2．反比例函数的概念需注意以下几点：(1)k为常数，k≠0；（2）kx 中分母x的指数为1；例如y= xk 就不是反比例函数；(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；（4）因变量y的取值范围是y≠0的一切实数．
3．反比例函数的图象和性质．
利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=kx 具有如下的性质（见下表）①当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；②当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大．
4．画反比例函数的图象时要注意的问题：（1）画反比例函数图象的方法是描点法；（2）画反比例函数的图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此，不能把两个分支连接起来；（2）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势．
5. 反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y= (k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为│k│。
6. 用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为
（二）：【课前练习】
1.下列函数中，是反比例函数的为（ ）
A. ；B. ；C. ；D.
2. 反比例函数 中，当 ＞0时， 随 的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A. ＞ ；B. ＜2；C. ＜ ；D. ＞2
3. 函数y= kx 与y=kx+k在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）
4. 已知函数 y=（m2－1） ，当m=_____时，它的图象是双曲线．
5.如图是一次函数 和反比例函数 的图象，
观察图象写出 ＞ 时， 的取值范围
二：【经典考题剖析】
1.设
（1）当 为何值时， 与 是正比例函数，且图象经过一、三象限
（2）当 为何值时， 与 是反比例函数，且在每个象限内 随着 的增大而增大
2.有 的正比例函数、反比例函数、一次函数各一个，已知 是一次函数和正比例函数的一组公共的对应值，而 是一次函数和反比例函数的一组公共的对应值
（1）求这三个函数的解析式，并求 时，各函数的函数值是多少？
（2）作出三个函数的图象，用图象法验证上述结果
3. 如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= kx (k≠0）的图象交于M、N两点．
⑴求反比例函数和一次函数的解析式；
⑵根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
4. 如图，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线．直线AB与双曲
线的一个交点为点C，CD⊥x轴于D，OD=2OB=4OA=4．求一次函数和反比例函数的解析式．
5. 某厂从2001年起开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具数据如下表：
⑴请你认真分析表中数据，从你所学习过的一次函数、二次函数和反比例函数
中确定哪个函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式；
⑵按照这种变化规律，若2005年已投人技改资金5万元．
①预计生产成本每件比2004年降低多少万元？
②如果打算在2005年把每件产品成本降低到3．2万元，则还需投人技改资金多少万元（结果精确到0．01万元）
三：【课后训练】
1.关于 (k为常数)下列说法正确的是（）
A．一定是反比例函数； B．k≠0时，是反比例函数
C．k≠0时，自变量x可为一切实数； D．k≠0时, y的取值范围是一切实数
2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫的成本为y元，若该厂每月生
产x只（x取正整数）这个月的总成本为5000元，则y与x之间满足的关系式为（ ）
A． ；B． ；C． ；D．
3. 已知点（2， ）是反比例函数y= 图象上一点，则此函数图象必经过点（ ）
A．（3，－5）； B．（5，－3）； C．（－3，5）； D．（3，5）
4. 面积为3的△ABC，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是图中的（ ）
5. 已知反比例函数y= 的图象在第一、三象限，则对于一次函数y=kx—k．y的值随x值的增大而________.
6. 已知反比例函数y=（m－l） 的图象在二、四象限，则m的值为_________.
7. 已知：反比例函数y= 和一次函数y=mx+n的图象一个交点为 A（－3，4）且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定反比例函数和一次函数的解析式．
8. 某地上年度电价为0．8元，年用电量为 1亿度，本年度计划将电价调至0.55—0.75元之间，经测得，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与(x－0.4）元成反比例，又当 x=0．65时，y=0．8．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20％【收益=用电量×（实际电价一成本价）】
9. 反比例函数y= 的图象经过点 A（－2，3）⑴求出这个反比例函数的解析式；
⑵经过点A的正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y= 的图象，还有其他交点吗？若有，求出坐标；若没有，说明理由
10. 如图所示，点P是反比例函数y一上图象上的一点，过P作x轴的垂线，垂足
为E．当P在其图象上移动时，△POE的面积将如何变化？为什么？对于其他反比
例函数，是否也具有相同的规律？
四：【课后小结】
二次函数(二)
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1．二次函数与一元二次方程的关系：
（1）一元二次方程ax2+bx+c=0就是二次函数y=ax2+bx+c当函数y的值为0时的情况．
（2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值，即一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根．
（3）当二次函数y=ax2+bx+c的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根；当二次函数y＝ax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程y=ax2+bx+c没有实数根
2.二次函数的应用：
（1）二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大（小）值；
（2）二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值．
3.解决实际问题时的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等．
（二）：【课前练习】
1. 直线y=3x—3与抛物线y=x2 －x+1的交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
2. 函数 的图象如图所示，那么关于x的方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根； B．有两个异号实数根
C．有两个相等实数根； D．无实数根
3. 不论m为何实数，抛物线y=x2－mx＋m－2（ ）
A．在x轴上方； B．与x轴只有一个交点
C．与x轴有两个交点； D．在x轴下方
4. 已知二次函数y =x2－x—6•
（1）求二次函数图象与坐标轴的交点坐标及顶点坐标；
（2）画出函数图象；
（3）观察图象，指出方程x2－x—6=0的解；
（4）求二次函数图象与坐标轴交点所构成的三角形的面积.
二：【经典考题剖析】
1. 已知二次函数y=x2－6x+8，求：
（1）抛物线与x轴J轴相交的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标；
（3）画出此抛物线图象，利用图象回答下列问题：
①方程x2 －6x＋8=0的解是什么？
②x取什么值时，函数值大于0？
③x取什么值时，函数值小于0？
2. 已知抛物线y＝x2－2x－8，
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积．
3.如图所示，直线y=-2x+2与 轴、 轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90o，
过C作CD⊥ 轴，垂足为D
（1）求点A、B的坐标和AD的长
（2）求过B 、A、D三点的抛物线的解析式
4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，回答下列问题：
（1） 设运动后开始第t（单位：s）时，五边形APQCD的面积为S
（单位：cm2），写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围
（2）t为何值时S最小？求出S的最小值
5. 如图，直线 与 轴、 轴分别交于A、B两点，点P
是线段AB的中点，抛物线 经过点A、P、O（原点）。
（1）求过A、P、O的抛物线解析式；
（2）在（1）中所得到的抛物线上，是否存在一点Q，使∠QAO＝450，
如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。
三：【课后训练】
1.已知抛物线 与 轴两交点在 轴同侧，它们的距离的平方等于 ，则 的值为（ ）
A.－2 B.12 C.24 D.－2或24
2.已知二次函数 （ ≠0）与一次函数 （ ≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使 成立的 的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
3.如图，抛物线 与两坐标轴的交点分别是A、B、E，且△ABE是等腰直角三角形，AE＝BE，则下列关系：① ；② ；③ ；④ 其中正确的有（ ）
A..4个 B.3个 C.2个 D.1个
4.设函数 的图像如图所示，它与 轴交于A、B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则 的值为（ ）
A. 或2 B. C.1 D.2
5.已知二次函数 的最大值是2，它的图像交 轴于A、B两点，交 轴于C点，则 ＝ 。
6.如图，某大学的校门是一抛物线形状的水泥建筑物，大门的地
面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名的横匾用
的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高度为 。
（精确到0.1米）
7.已知二次函数 （ ≠0）的图像过点E（2，3），对称轴为 ，它的图像与 轴交于两点A（ ，0），B（ ，0），且 ， 。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在（1）中抛物线上是否存在点P，使△POA的面积等于△EOB的面积？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
8.已知抛物线 与 轴交于点A（ ，0），B（ ，0）两点，与 轴交于点C，且 ， ，若点A关于 轴的对称点是点D。
（1）求过点C、B、D的抛物线解析式；
（2）若P是（1）中所求抛物线的顶点，H是这条抛物线上异于点C的另一点，且
△HBD与△CBD的面积相等，求直线PH的解析式；
9.已知如图，△ABC的面积为2400cm2，底边BC长为80cm，若点D
在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行
四边形，设BD=xcm，S□BDEF=y cm2．
求：（1）y与x的函数关系式；（2）自变量 x的取值范围；
（3）当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？
10.设抛物线 经过A（－1，2），B（2，－1）两点，且与 轴相交于点M。
（1）求 和 （用含 的代数式表示）；
（2）求抛物线 上横坐标与纵坐标相等的点的坐标；
（3）在第（2）小题所求出的点中，有一个点也在抛物线 上，试判断直线AM和 轴的位置关系，并说明理由。
四：【课后小结】
函数的综合应用
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.解决函数应用性问题的思路
面→点→线。首先要全面理解题意，迅速接受概念，此为“面”；透过长篇叙述，抓住重点词句，提出重点数据，此为“点”；综合联系，提炼关系，建立函数模型，此为“线”。如此将应用性问题转化为纯数学问题。
2.解决函数应用性问题的步骤
（1）建模：它是解答应用题的关键步骤，就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题。
（2）解模：即运用所学的知识和方法对函数模型进行分析、运用、，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论。
（注意：①在求解过程和结果都必须符合实际问题的要求；②数量单位要统一。）
3.综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时，运用二次函数的性质，选取适当的变量，建立目标函数。求该目标函数的最值，但要注意：①变量的取值范围；②求最值时，宜用配方法。
（二）：【课前练习】
1.油箱中存油20升，油从油箱中均匀流 出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余
油量 Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（ ）
A．Q＝0．2t； B．Q＝20－2t； C．t=0．2Q； D．t=20—0．2Q
2.幸福村办工厂，今年前五个月生产某种产品的总量C（件）关于时间t（月）的函数图象如图所示，则该工厂对这种产品来说（ ）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4，5两月每月生产总量逐月减小
B．l月至3月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平
C．l月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
D．l月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
3.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销价提高（ ）
A.8元或10元； B.12元； C.8元； D.10元
4.已知M、N两点关于 轴对称，且点M在双曲线 上，点N在直线 上，设点M（ ， ），则抛物线 的顶点坐标为 。
5.为了预防“非典”，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例，药物燃烧后y与x成反比例如图所示．现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克，请根据题中提供的信息填空：
⑴药物燃烧时，y关于x的函数关系式为_______，自变量x的取值范围是_________；
（2）药物燃烧后y关于x的函数关系式为___________．
二：【经典考题剖析】
1.如图（ l ）是某公共汽车线路收支差额y(票价总收人减去运营成本）与乘客量 x 的函数图象．目前这条线路亏损，为了扭亏，有关部门举行提高票价的听证会。乘客代表认为：公交公司应节约能源，改善管理，降低运营成本，以此举实现扭亏。公交公司认为：运营成本难以下降，公司己尽力，提高票价才能扭亏。根据这两种意见，可以把图（ l ）分别改画成图（ 2 ）和图（ 3 ) ,
①说明图（ 1 ）中点 A 和点 B 的实际意义：
②你认为图（ 2 ）和图（ 3 ）两个图象中，反映乘客意见的是 ，反映公交公司意见的是 .
③如果公交公司采用适当提高票价又减少成本的办法实现扭亏为赢，请你在图（4）中画出符合这种办法的 y 与 x 的大致函数关系图象。
2. 市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室．
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系?
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深?
(3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。
3.甲车在弯路作刹车试验，收集到的数据如下表所示：
速度x（千米/小时） 0 5 10 15 20 25
…
刹车距离y（米） 0
2
6 …
（1）请用上表中的各对数据（x，y）作为点的坐标，在平面坐标系中画出甲车刹车距离y（米）与x（千米/时）的函数图象，并求函数的解析式。
（2）在一个限速为40千米/时的弯路上，甲、乙两车相向而行，同时刹车，但还是相撞了。事后测得甲、乙两车的刹车距离分别为12米和10.5米，又知乙车的刹车距离y（米）与速度x（千米/时）满足函数 ，请你就两车的速度方面分析相撞的原因。
4.某商人开始时，将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可售出100件．他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种商品每件每提价l元，每天的销售量就会减少10件．
⑴ 写出售价x（元／件）与每天所得的利润y（元）之间的函数关系式；
⑵ 每件售价定为多少元，才能使一天的利润最大？
5.启明公司生产某种产品，每件产品成本是8元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投人的广告费是x(万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y= ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费：
（1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元？
（2）把(1）中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资 新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如表：
如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收
益总额不得低于1.6万元，问：有几种符合要求的投资
方式？写出每种投资方式所选的项目．
三：【课后训练】
1.一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米）与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．
根据图象，下列说法错误的是（ ）
A．爸爸登山时，小军已走了50米
B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面
C．小军比爸爸晚到山顶
D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快
2.已知圆柱的侧面积是10π㎝2 ，若圆柱底
面半径为r cm，高为h cm，则h与r的函
数图象大致是图中的（ ）
3.面积为3的△ABC，一边长为x，这边上的
高为y，则y与x的变化规律用图象表示大
致是图中的（ ）
4.如图，小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数
h=3.5t-4.9t2 (t的单位：s；h中的单位：m）可以描述他跳跃时
重心高度的变化．则他起跳后到重心最高时所用的时间是（ ）
A．0．71s B．0.70s C．0.63s D．0．36s
5.一某市市内出租车行程在 4km以内（含 4km）收起步费 8元，行驶超过4km时，每超过1 km，加收1．80元，当行程超出4km时收费y元与所行里程x(km）之间的函数关系式__________ 新 课 标 第 一 网
6. 有一面积为100的梯形，其上底长是下底长的13 ，若上底长为x，高为y，则y与x的函数关系式为_________-
7.为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按照一定的关系科学设计的．小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身长调节高度．于是，他测量了一套课桌、凳上对应四档的高度，得到如下数据见下表：
⑴ 小明经过对数据探究，发现桌高y是凳高x
的一次函数，请你写出这个一次函数的关系式
（不要求写出x的取值范围）
⑵ 小明回家后测量了家里的写字台和凳于，写字台的高度为77厘米，凳子的高度为43．5厘米，请你判断它们是否配套，并说明理由．
8.“给我一个支点，我可以把地球撬动” 这是古希腊科学家阿基米德的名言。小明欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米。
（1）动力F与动力臂L有怎样的函数关系？当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力？
（2）若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（3）假定地球重量的近似值为6х1025牛顿（即为阻力）假设阿基米德有500牛的力量，阻力臂为2000千米，请你帮助阿基米德设计该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
9.某食品零售店为食品厂供销一种面包，未售出的面包可退回厂家．经统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x(角)，零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．
⑴ 用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；
⑵ 求y与x之间的函数关系式；
⑶ 当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？
10.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线如图所示直角坐标系下经过原点O的一条抛物线；图中标出的数据为已知条件,在跳某个规定动作时，正常情况下，运动员在空中的最高处距离水面10千米，人水处距池边的距离为4米，同时，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定翻腾动作，并调整好人水姿势，否则就会出现失误．
⑴求这条抛物线的关系式；
⑵在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是⑴中的抛物
线，且运动员在空中调整好人水姿势时，距池边的水平距离为
3千米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．
四：【课后小结】
